第8.1节(齐次方程的分离变量法).ppt

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1、第八章分离变数(傅里叶级数)法分离变数法是定解问题的一种基本解法,适用于大量的第一节、齐次方程的分离变数法(一)分离变数法介绍研究两端固定的均匀弦的自由振动,即:边界初始征值问题,本章限于本征函数是三角函数的情况。个常微分方程,其中有的常微分方程带有附加条件,构成本各种各样的定解问题,其基本思想是把偏微分方程分解成几1这里弦是有限长的,即有两个端点,波在端点时间来回反射同频率的反向波形成驻波在驻波中,有的点振幅最大,叫做波腹,还有些最小,叫做波节驻波没有波形传播,即各振动项位点不依次滞后,他们按统一方此时,驻波的一般表达式具有分离变数的形式!把上式代入振动方程和边界条件可得:(与t无

2、关)式随时间t振动,可以表示成T(t)但各点振幅随地点而异,即是x的函数X(x),则驻波的一般表达式为:2对于方程同除则可得左边是时间t的函数,与坐标x无关,右边是坐标x的函数,与就把原方程分为两个常微分方程,即:我们先来求解X,根据的不同来考察(1)时间t无关,显然不等,除非等于常数,记常数为3方程的解是积分常数由初始条件确定:由此可得即驻波没有意义,故排除!(2)此时方程的解是:积分常数由初始条件确定:由此可得即没有意义,故排除!4(2)此时方程解为:积分常数由初始条件来确定此时如果仍然可得从而应该予以排除!只剩下一种可能:则即:而此时C2为任意常数注:上式正是傅里叶正弦级数的基

3、本函数族!5由以上过程可知道,分离变数过程中所引入的常数不能为负数或者零,也不是任意的正数,必须取特定的数值,才能使原方程有有意义的解。常数的这种特殊数值叫做本征值,而此时T的方程应该写成:此方程的解为:其中,A,B为积分常数把X(x)和T(t)代入原方程就可得分离变数形式的解:相应的解叫做本征函数,即构成本征值问题。6这就是两端固定弦上的可能的驻波,每个自然数n对应一个在共计n+1个点上,则U(x,t)=0,这些点是驻波的节点相邻节点间隔l/n为半波长,故波长应为:2l/n本征振动的角频率为则频率为:当n=1的驻波,除了两端x=0和x=l之外没有其他的节点,波长2l在N>1的各个驻

4、波叫做n次谐波,波长2l/n是基波的1/n,频率na/2l驻波,这些驻波也叫做两端固定弦的本征振动。所有本征振动里边是最长的,频率最低,这个驻波叫做基波.是基波的n倍.7以上的本征振动是满足弦振动方程和边界条件的线性独立的特解,由于方程和边界条件都是齐次的,故所有的本征振动的线性叠加:仍然满足原方程和边界条件,此即满足方程的一般解,其中A,B为任意常数但此时未考虑初始条件!以下就是考虑到初始条件求定解问题的确定解,就是选取适当的把上述一般解代入初始条件,可得:叠加系数An和Bn,满足初始条件:8左边是傅里叶正弦级数,我们只要把函数展开成傅里叶正弦级数,比较系数就可以得到An和Bn:这

5、样,我们就得到了原定解问题的解:系数由以上的傅里叶级系数确定,展开成傅里叶正弦级数是由第一类边界条件确定的!9偏微分方程分离变数常微分方程2解2本征解解2×解1齐次边界条件分离变数常微分方程1条件解1(本征函数)所求解=初始条件关键在于分离变数,使偏微分问题化为常微分问题,同时把边界分离变数法条件化为常微分方程的附加条件,构成本征值问题。可以推广到线性齐次方程和线性齐次边界条件的多种定解问题中!10求解:11(二)例题例1:磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等核心是两端自由的(边界条件)(初始条件)(泛定方程)解分离变量:代入泛定方程和边界条件即:均匀杆,作纵振动,定解问题如下:12对于

6、方程化为:两边分别是x和t的函数,不可能相等,除非是一常数,设为则于是可分解为关于X和T的常微分方程(1)(2)对于本征值问题(1)如果则X(x)恒为零,无意义。如果则方程的解是:代入常微条件得:D0=0则13为对应于本征值的本征函数如果方程的解是:积分常数满足:故C2=0若C1=0,则无意义!则可得:即相应的本征函数为:以下把的情况合二为一。14C1为任意常数,上式是傅里叶余弦级数的基本函数族。将本征值代入T的方程可以得到:解分别为:其中系数均为独立的任意常数。把X(x),T(t)分别代回得到本征振动如下:15注意,上式是傅里叶余弦级数的基本函数族。所有本征振动叠加即得一般解:其中

7、系数由初始条件确定。把一般解代入初始条件,可以得到:16把左边的函数展开成傅里叶余弦级数,比较系数由上可知,A0和B0分别表示平均初始位移和平均初始速度,由于例2:研究细杆导热问题,初始时刻杆的一端问题为零,另一端一端为第一类边界条件,另一端为第二类边界条件类齐次边界条件所决定的。不受外力作用,以不变的速度B0移动,傅里叶余弦级数是由第二另一端跟外界绝热,试求杆上温度的变化。温度为U0,杆上温度梯度均匀,零度的一端保持温度不变,17可得杆上温度U(x,t)

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