第4章根轨迹法.ppt

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1、第四章根轨迹法4.1根轨迹方程4.2根轨迹绘制的基本法则4.3广义根轨迹End本章作业4.1根轨迹方程根轨迹：是指开环系统某个参数由0变化到∞，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。根轨迹与系统性能密切相关。表示系统的闭环极点0jj0.5K=1/2-0.5-1p1p2闭环特征方程为s2+s+K=0,解得闭环特征根表达式令K（由0到∞）变动，s1、s2在s平面的移动轨迹即为根轨迹。研究根轨迹的目的：分析系统的各种性能（稳定性、稳态性能、动态性能）4.1.1根轨迹概念R(s)(-)C(s)4.24.3动画演示根轨迹增益：K*为开环系统根

2、轨迹增益；闭环系统根轨迹增益等于开环系统前向通路根轨迹增益。(由下式及m

3、，通过图解的方法找出闭环极点。1.由闭环特征方程得根轨迹方程为G(s)H(s)=–14.1.3根轨迹方程再把矢量方程表示为模值方程与相角方程，其模值方程和相角方程分别为：2.将根轨迹方程写成零、极点表示的矢量方程为：法则4:实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧，开环零、极点数目之和应为奇数。法则6:根轨迹的起始角(从极点pk)和终止角(到零点zk)：起始角：法则2:根轨迹对称于实轴：闭环极点若为实数，则位于[s]平面实轴；若为复数则共轭出现，所以根轨迹对称于实轴。法则3:根轨迹的起点与终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果

4、开环零点数m小于开环极点数n，则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远处(的零点)。法则5:根轨迹的渐近线：渐近线与实轴交点的坐标而渐近线与实轴正方向的夹角k依次取0,+1,–1,+2,–2,…一直到获得n-m个倾角为止。其中，n为开环极点数，m为开环零点数。(a可由相角方程中S得到。)4.2根轨迹绘制的基本法则例1a4.3证14.1例1例3证1例1b例2证2法则1:根轨迹的分支数：根轨迹在[s]平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数n,也就是分支数与闭环极点的数目相同。法则8:根轨迹与虚轴的交点：法则7:分离点（会合点）坐标d：几条根

5、轨迹在[s]平面上相遇后又分开的点，称为分离点。分离点的坐标d可由方程终止角：紧转例4法则9:根之和：若n-m>=2，则有例3证3例2例2证明1由根轨迹方程：jp01p02p03p040z01z02z03z04s0z05其余n-m条终止于无穷远处:起点:K*=0,式(#)∞,所以s=pi(i=1,2,…n)终点:K*∞,式(#)0,所以s=zj(j=1,2,…m)证明2由同理得假设在一开环极点p1附近取一点s1,则证明3系统闭环特征方程为代入得根轨迹若有分离点，表明闭环特征方程有重根，重根条件为两式相除得例1a例1b例

6、2p02j0-1j1j1.15ap03p01例3开环增益为K=K＊/2，K的稳定域为0

7、5Ta相当于新的开环增益。4.3广义根轨迹变化的参数不是开环根轨迹增益K*的根轨迹叫参数根轨迹。将开环传函变形让变化的参数处于开环增益的位置就可以采用绘制常规根轨迹时的法则。解题关键：要将开环传函变形，将非开环增益的参数变换到开环增益的地位。将和参数有关的各项归并在一起，上式可写为5s2+s+5+5Tas=04.14.24.3.1参数根轨迹在负反馈系统中，K*变化时的根轨迹叫做常规根轨迹。其他情况下的根轨迹称广义根轨迹。通常有参数根轨迹和零度根轨迹。例7：求Tm从0→∞时的根轨迹R(s)(-)C(s)j0P1P2-K原系统的闭环特

8、征方程为Tms2+s+K=0整理可得等效开环传函或由s2+s/Tm+K/Tm=0得新的特征方程为s2+(s+K)/Tm=0则新的等效开环传函为如果系统的特征方程的形式为1-G(s)H(s)=0,4.3.2零度根轨迹其根轨