第4章根轨迹法[4.1].ppt

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1、第4章根轨迹法2007.10.24WORDSANDPHRASES特征方程characteristicequation极点pole零点zero根轨迹rootlocus幅值和相角条件themagnitudeandangleconditions本章重点内容根轨迹的基本概念根轨迹绘制的基本规则参量根轨迹的绘制用根轨迹法分析闭环控制系统的性能4.1根轨迹法的基本概念4.1.1根轨迹的概念根轨迹是作为开环传递函数增益的函数，闭环系统特征方程根的轨迹(Therootlocusisaplotoftherootsofthecharacteristicequationo

2、ftheclosed-loopsystemasafunctionofthegainoftheopen-looptransferfunction)。为了具体说明根轨迹的概念，设控制系统如图4-1所示，其开环传递函数为图4-1二阶系统于是，求得系统的闭环特征方程式为(4-1)显然，特征方程式的根是由上式可见，特征根s1和s2都将随着参变量K的变化而变化。表4-1列出了当参变量K由零变化到无穷大时，特征根s1和s2相应的变化关系。表4-1特征方程式的根与参变量K的关系图4-2系统的根轨迹以K为参变量，把表4-1中所示的s1和s2画在s平面(plane)上，

3、并分别把它们连成曲线(curve)，就得到该系统的根轨迹，如图4-2所示。图中箭头的指向表示K增大时根的移动方向。而标注的数值则代表与闭环极点位置相应的开环增益K的数值。4.1.2根轨迹与系统性能1.稳定性当开环增益从零变到无穷时，图4-2上的根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，因此图4-1系统对所有的K值都是稳定的。如果分析高阶系统的根轨迹图，那么根轨迹就有可能越过虚轴进入s右半平面，此时根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界开环增益。2.稳态性能由图4-2可见，开环系统在坐标原点有一个极点，所以系统属I型系统，因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如

4、果给定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的容许范围。在一般情况下，根轨迹图上标注出来的参数不是开环增益，而是所谓根轨迹增益。3.动态性能由图4-2可见，当时，所有闭环极点位于实轴上，系统为过阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程；当时，闭环两个实数极点重合，系统为临界阻尼系统，单位阶跃响应仍为非周期过程，但响应速度较情况为快；当时，闭环极点为复数极点，系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡过程，且超调量将随K值的增大而增大，但调节时间的变化不会显著。上述分析表明，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。然而，对于高阶系统，用解析的方法

5、绘制系统的根轨迹图，显然是不适用的。为此，伊文思提出了给制根轨迹的一套基本规则。应用这些规则，根据开环传递函数零、极点在s平面上的分布，能较方便地画出闭环特征方程式根的轨迹。4.1.3根轨迹的幅值条件和相角条件设单闭环控制系统的一般结构如图4-3所示。该系统的特征方程式为由上式可知，凡是满足方程(4-2)的s值，就是该方程式的根，或者说是根轨迹上的一点。由于s是复数，式(4-2)等号的左端也必是复数，因而该式可改写为于是得(4-3)(4-4)式(4-4)、(4-5)分别称为根轨迹的幅值条件和相角条件(Themagnitudeandanglecondi

6、tions)。显然，满足式(4-2)的s值必同时满足式(4-4)和式(4-5)。为了把幅值条件和相角条件写成更具体的形式，假设系统的开环传递函数为如下形式：(4-6)式中，为开环传递函数的零点；为开环传递函数的极点。在s平面上，它们分别用符号表示。若把式(4-6)分子、分母中的各因式以极坐标形式来表示，即令则式(4-6)改写为(4-7)于是求得根轨迹具体形式的幅值条件和相角条件为(4-8)(4-9)由上述两式可见，幅值条件与k有关，而相角条件与k无关。因此，把满足相角条件的值代入到幅值条件中，一定能求得一个与之相对应的k值。这就是说，相角条件是确定s

7、平面上的根轨迹的充分必要条件。换言之,凡是满足相角条件的点必然也同时满足幅值条件,反之,满足幅值条件的点未必都能满足相角条件.综上所述，根轨迹就是平面上满足相角条件点的集合。由于相角条件是绘制根轨迹的基础，因而绘制根轨迹的一般步骤是：先找出s平面上满足相角条件的点，并把它们连成曲线；然后根据实际需要，用幅值条件确定相关点对应的值。例4-1下面利用幅值条件和相角条件绘制图4-1所示系统的根轨迹。解：(1)在s平面用标出开环极点，用标出开环零点。本例的开环传递函数为它的开环极点为0和–1，没有开环零点。标在s平面上如图4-4所示。(2)用相角条件绘制根轨

8、迹本例的相角条件为根据上式，用试探法寻求s平面上满足相角条件的点。1)在正实轴上任取一试验点s1，如图4-4