2019年高考数学总复习专题6.2等差数列及其前n项和导学案理.doc

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1、第二节等差数列及其前n项和最新考纲1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.知识梳理1．等差数列的定义从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示．数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N＋，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数)．2．等差数列的通项公式若首项是a1，公差是

2、d，则这个等差数列的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.3．等差中项如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，即A＝.4．等差数列的前n项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.5．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.(3)若{an

3、}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．(6)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列．(7)等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差数列，其公差为n2d.（8）等差数列{an}的前n

4、项和为Sn，则数列也是等差数列．（9）两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则有＝.6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝n2＋n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．注意：公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．7．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值

5、．8.等差数列的四种判断方法(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}是等差数列．(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．典型例题考点一　等差数列的基本运算【例1】（1）(2017·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)A．1B．2C．4D．8【

6、答案】　C【解析】　设{an}的公差为d，由得解得d＝4.故选C.（2）(2016·全国Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100等于(　　)A．100B．99C．98D．97【答案】　C【解析】　法一：∵{an}是等差数列，设其公差为d，∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.又∵a10＝8，∴∴∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故选C．法二：∵{an}是等差数列，∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.在等差数列{an}中，a5，a10，a

7、15，…，a100成等差数列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5.故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故选C．（3）设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________.【答案】30规律方法等差数列运算问题的通性通法（1）等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用．（2）数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．

8、【变式训练1】（1）在等差数列{an}中，a2＝4，a3＋a7＝20，则a8＝(　　)A．8B．12C．16D．24【答案】C【解析】因为数列{an}是等差数列，由等差数列的性质得：a2＋a8＝a3＋a7，又a2＝4，a3＋a7＝20，所以a8＝a3＋a7－a2＝20－4＝16.故选C.(2)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝(　　)A．　　　　B．　　　　C．10　　　　D．12【答案】B【解析】∵公差为1，∴S8