xD4_3泰勒中值定理.ppt

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1、二、几个初等函数的麦克劳林公式第三节一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用—应用用多项式近似表示函数理论分析*近似计算泰勒(Taylor)公式第四章2015-10-311/26特点:一、泰勒公式的建立以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?x的一次多项式2015-10-312/2642246420246泰勒多项式逼近2015-10-313/2642246420246泰勒多项式逼近2015-10-314/261.求n次近似多项式要求:故令则2015-10-315/262.余项估计令(称为余项),则有则有2015-10-316/262015-10-317201

2、5-10-318/26公式①称为的n阶泰勒公式.公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项.泰勒中值定理:阶的导数,时,有①其中②则当2015-10-319/26公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.此时，泰勒公式可写为：则③④2015-10-3110/26(1)当n=0时,泰勒公式变为(2)当n=1时,泰勒公式变为即为拉格朗日中值定理可见误差2015-10-3111/26称为麦克劳林（Maclaurin）公式.则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上由此得近似公式2015-10-3112/26二、几个初等函数的麦克劳林公式其中2015-10-3113/26其中2015

3、-10-3114/26类似可得其中2015-10-3115/26已知其中类似可得2015-10-3116/26其中2015-10-3117/26三、泰勒公式应用1.利用泰勒公式求极限例1.计算解:原式2015-10-3118/26若解:例2.2015-10-3119/262.利用泰勒公式证明不等式例3.2015-10-3120/26由题设对证:有且例4.2015-10-3121/26下式去减去上式,得令2015-10-3122/263*.在近似计算中的应用误差M为在包含0,x的某区间上的上界.需解问题的类型:1)已知x和误差限,要求确定项数n;2)已知项数n和x,计算近似值并估计误差;3)

4、已知项数n和误差限,确定公式中x的适用范围.2015-10-3123/26已知例.计算无理数e的近似值,使误差不超过解:令x=1,得由于欲使由计算可知当n=9时上式成立,因此的麦克劳林公式为2015-10-3124/26内容小结1.泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式.2015-10-3125/262.常用函数的麦克劳林公式3.泰勒公式的应用(1)求极限(3)*其他应用近似计算、利用多项式逼近函数等.(2)证明不等式,2015-10-3126/26泰勒(1685–1731)英国数学家,他早期是牛顿学派最优秀的代表人物之一,重要著作有:《正的和反的增量方法》(1715)《线性透视论》(1719

5、)他在1712年就得到了现代形式的泰勒公式.他是有限差分理论的奠基人.2015-10-31麦克劳林(1698–1746)英国数学家,著作有:《流数论》(1742)《有机几何学》(1720)《代数论》(1742)在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的麦克劳林级数.2015-10-31