2013年全国初中数学竞赛试题(含答案).doc

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1、2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1．设非零实数，，满足则的值为（）．（A）（B）（C）（D）【答案】A【解答】由已知得，故．于是，所以．2．已知，，是实常数，关于的一元二次方程有两个非零实根，，则下列关于的一元二次方程中，以，为两个实根的是（）．（A）（B）（C）（D）【答案】B【解答】由于是关于的一元二次方程，则．因为，，且，所以，且，，（第3题）于是根据方程根与系数的关系，以，为两个实根的一元二次方程是，即．3．如图，在Rt△ABC中，已知O是斜边AB的中点，CD⊥AB，垂足为D，DE⊥OC，垂足为E．若AD，DB，CD－7－的长度都是有理数，则线

2、段OD，OE，DE，AC的长度中，不一定是有理数的为（）．（A）OD（B）OE（C）DE（D）AC【答案】D【解答】（第3题答题）因AD，DB，CD的长度都是有理数，所以，OA＝OB＝OC＝是有理数．于是，OD＝OA－AD是有理数．由Rt△DOE∽Rt△COD，知，都是有理数，而AC＝不一定是有理数．（第4题）4．如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且，DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）．（A）3（B）4（C）6（D）8【答案】C【解答】因为DCFE是平行四边形，所以DE//CF，且EF//DC．（第4题答题）连接

3、CE，因为DE//CF，即DE//BF，所以S△DEB=S△DEC，因此原来阴影部分的面积等于△ACE的面积．连接AF，因为EF//CD，即EF//AC，所以S△ACE=S△ACF．因为，所以S△ABC=4S△ACF．故阴影部分的面积为6．5．对于任意实数x，y，z，定义运算“*”为：，且，则的值为（）．（A）（B）（C）（D）【答案】C【解答】设，则－7－，于是．二、填空题6．设，b是的小数部分，则的值为．【答案】【解答】由于，故，因此．（第7题）7．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别

4、是3，4，5，则四边形AEFD的面积是．【答案】【解答】如图，连接AF，则有：（第7题答题），，解得，．所以，四边形AEFD的面积是．8．已知正整数a，b，c满足，，则的最大值为．【答案】【解答】由已知，消去c，并整理得－7－．由a为正整数及≤66，可得1≤a≤3．若，则，无正整数解；若，则，无正整数解；若，则，于是可解得，．（i）若，则，从而可得；（ii）若，则，从而可得．综上知的最大值为．9．实数a，b，c，d满足：一元二次方程的两根为a，b，一元二次方程的两根为c，d，则所有满足条件的数组为．【答案】，（为任意实数）【解答】由韦达定理得由上式，可知．若，则，，进

5、而．若，则，有（为任意实数）．经检验，数组与（为任意实数）满足条件．10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了支圆珠笔．【答案】207【解答】设x，y分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则所以，－7－于是是整数．又，所以，故y的最小值为207，此时．12．设△的外心，垂心分别为，若共圆，对于所有的△，求所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论．（i）若△为锐角三角形．因为，所以由，可得，于是．…………5分（第12题答题（ii））（第12

6、题答题（i））（ii）若△为钝角三角形．当时，因为，所以由，可得，于是。…………10分当时，不妨假设，因为，所以由，可得，于是．…………15分（iii）若△为直角三角形．当时，因为为边的中点，不可能共圆，所以不可能等于；当时，不妨假设，此时点B与H重合，于是总有－7－共圆，因此可以是满足的所有角．综上可得，所有可能取到的度数为所有锐角及．…………20分13．设，，是素数，记，当时，，，能否构成三角形的三边长？证明你的结论．【解答】不能．依题意，得．因为，所以．又由于为整数，为素数，所以或，．…………10分当时，．进而，，，与，是素数矛盾；…………15分当时，，所以，，

7、不能构成三角形的三边长．………20分14．如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数，满足对任意一个正整数m，在中都至少有一个为m的魔术数．【解答】若n≤6，取1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有中的一个正整数M是≤＜≤7的公共的魔术数，即7

8、()，7

9、()．则有7

10、()，但0＜≤6，矛盾．故n≥7．…………10分又当为1，2，…，7时，对任意一个正整数m，设其为位数（为正整数）