函数的极限的求解方法.doc

函数的极限的求解方法.doc

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1、.函数的极限的求解方法摘要:本文介绍了计算函数极限的几种方法,讨论如何运用已掌握的知识方法计算极限.关键词:零因子:初等法:两个重要极限:等价无穷小:等价无穷小替换:函数的连续性:法。引言  极限思想是许多科学领域的重要思想之一.因为极限的重要性,从而怎样求极限也显得尤其重要.对于一些复杂极限,直接按照极限的定义来求就显得非常困难,不仅计算量大,而且不一定能求出结果.为了解决求极限的问题,有不少学者曾探讨了计算极限的方法.本文也介绍了计算极限的几种方法,并对文献结论进行了推广,讨论如何利用我们已有的知识计算极限

2、,并且以实例来阐述方法中蕴涵的数学思想.函数的极限主要表现在两个方面:一、自变量任意接近于有限值,或讲趋向(于)(记)时,相应的函数值的变化情况.二、当自变量的绝对值无限增大,或讲趋向无穷大(记)时,相应的函数值的变化情况.相关知识点(一)“”形:定义1:如果对(不论它多么小),总,使得对于适合不等式的一切所对应的函数值满足:,就称常数为函数当时的极限,记为,或(当时)注1:“与充分接近”在定义中表现为:,有,即.显然越小,与接近就越好,此与数列极限中的所起的作用是一样的,它也依赖于.一般地,越小,相应地也小一

3、些.2:定义中表示,这说明当时,..有无限与在点(是否有)的定义无关(可以无定义,即使有定义,与值也无关).3:几何解释:对,作两条平行直线.由定义,对此.当,且时,有.即函数的图形夹在直线之间(可能除外).换言之:当时,.可见不唯一!例1证明.证明:对,因为所以[此处,即考虑附近的情况,故不妨限制为,即,].因为,要使,只须,即.取(利用图形可解释),当时,有.定理1:(保号性)设,(i)若,则,当时,.(ii)若,必有.注:在(i)中的“”,“”不能改为“”,“”.在(ii)中,若,未必有.定义2:对,,当

4、时,[当时],有.这时就称为当时的左[右]极限,记为或.[或]...定理2:(充要条件).(二)“”形:定义3:设当时是有定义的,若对,当时,有,就称为当时的极限,记为或(当时).注1:设在上有定义,若对,当时,有,就称为当时的极限,记为,或(当)(,或(当)).2:(充要条件).3:若,就称为的图形的水平渐近线(若或,有类似的渐近线).例2证明.证明:对,因为,所以要使得,只须,故取,所以当时,有,所以.(三)无穷小与无穷大一、无穷小定义1:对若,使得当时,有成立,就称为当时的无穷小,记为.注1:除上两种之外

5、,还有的情形.2:无穷小不是一个数,而是一个特殊的函数(极限为0),不要将其与非常小的数混淆,因为任一常数不可能任意地小,除非是0函数,由此得:0是唯一可作为无穷小的常数...定理1:当自变量在同一变化过程(或)中时:(i)具有极限的函数等于其极限与一个无穷小之和,即:为的极限为无穷小.(ii)若一函数可表示为一常数与无穷小之和,那么该常数就是其极限.二、无穷大定义2:若对,使得当时,有,就称当时的无穷大,记作:.注1:同理还有时的定义.2:无穷大也不是一个数,不要将其与非常大的数混淆.3:若或,按通常意义将,

6、的极限不存在.定理2:当自变量在同一变化过程中时,(i)若为无穷大,则为无穷小.(ii)若为无穷小,且,则为无穷大.(四)函数极限运算法则由极限定义直接来求极限是不可取的,因此需寻求一些方法来求极限.定理1:有限个无穷小的和仍为无穷小,即设注1:与都表示函数与,而不是常数.2:“”下放没标自变量的变化过程,这说明对及均成立,但须同一过程.定理2:有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小,即设有界,.推论1:常数与无穷小的乘积仍为无穷小,即若为常数,...推论2:有限个无穷小的乘积仍为无穷小,设.定理3:若,则存在,且.

7、注:本定理可推广到有限个函数的情形.定理4:若,则存在,且.推论1:(为常数).推论2:(为正整数).定理5:设,则.定理6:如果,且,则.推论1:设为一多项式,当.推论2:设均为多项式,且,由定理5,.例3.(利用定理3)例4(因为).注:若,则不能用推论2来求极限,需采用其它手段.例5求.(消去零因子法)解:当时,分子、分母均趋于0,因为,约去公因子,所以.例6求.解:当..全没有极限,故不能直接用定理3,但当时,,所以.例8证明为的整数部分.证明:先考虑,因为是有界函数,且当时,,所以由定理2.(五)极限

8、存在准则、两个重要极限收敛准则:如果函数满足下列条件:(i)当时,有.(ii)当时,有.那么当时,的极限存在,且等于.两个重要极限:例9.(做替换)例10.(先三角变换)(六)无穷小的比较定义:设与为在同一变化过程中的两个无穷小,..(i)若,就说是比高阶的无穷小,记为;(ii)若,,就说是比低阶的无穷小;(iii)若,,就说是比同阶的无穷小;(iv)若,就说与是等价无穷小,记为.注1

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