定积分的换元法与分部积分法.ppt

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1、定积分之换元法与分部积分法考察定积分记变上限定积分◆积分上限函数及其导数变下限定积分变上限定积分和变下限定积分通称为变限定积分Φ(x)和Ψ(x)是[a,b]上的连续函数。定理如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则变上限定积分在[a,b]上可导，且它的导数是即Φ(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数。证由积分中值定理得例1求下列函数的导数解解练习解（1）（2）例1求下列函数的导数解（3）解（4）如果变速直线运动物体的运动方程是S=S(t)，则在时间段[T1,T2]内所发生的位移变化为S(T1)-S(T2)如果物体的运动方程为V=V(t)，则由定积分可知

2、连续函数在区间上的定积分等于它的一个原函数在积分区间上的增量◆微积分基本公式而？设在区间上连续，是它的任意一个原函数，则有◆微积分基本公式——牛顿—莱布尼兹公式证明思路记作牛顿—莱布尼茨公式微积分基本公式表明：注意求定积分问题转化为求原函数的问题.例2求下列定积分解因为在上连续，是它的一个原函数所以解原式解解解原式解原式解设，求分段函数的积分计算，应分区间选取相应的函数解例3求解由图形可知例4求解分析：这是型不定式，应用洛必达法则.例1定积分的换元法换元必须换限不换元则不变限凑微分另解原式解原式？×解原式积分变量变，积分区间变定积分的换元法定理应用换元公式时

3、应注意:（2）（1）例2定积分的换元法换元必须换限解令原式换元换限定积分的换元法换元必须换限解原式解令原式定积分的换元法换元必须换限证例5对称区间上偶函数的积分性质解原式偶次方化倍角解原式定积分的换元积分法小结1、基本换元规律，与不定积分相同；2、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代，但必须做到换元同时换限。◆定积分的分部积分法定积分的分部积分公式例6解原式已积出的部分要求值解定积分的分部积分法已积出的部分要求值解定积分的分部积分法已积出的部分要求值定积分的分部积分法已积出的部分要求值解原式解原式所以定积分的分部积分法小结1、u与dv的选择规律，与不

4、定积分的规律完全相同；2、不同之处，仅在于：定积分的计算需要计算原函数的函数值之差。