实对称矩阵的特征值和特征向量.ppt

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1、§3.3实对称矩阵特征值和特征向量永远可以对角化。实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵。这类矩阵的最大优点是特征值都是实数，定理4.12实对称矩阵的特征值都是实数。一、实对称矩阵特征值的性质证明：设是阶实对称矩阵，是矩阵的在复数域上的任一特征值，属于的特征向量为两边取复数共轭得到则，于是，(4.11)勃菇睁叙稚畸蒙锑爱尉灰奄董骏钨局洒妈犀则穷努袱芜嵌踌阀嗽很峨溺裁实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量由于，对最后一式取复数转置，得到两边再右乘，得到所以有特征值都是实数。这样，是实数。由的任意性，实对称矩

2、阵的特征向量都是实数向量。附注：进一步地有，实对称矩阵的属于特征值的一、实对称矩阵特征值的性质定理4.12实对称矩阵的特征值都是实数。层局柞芋辊吞揍楷句掠闹坑滚陌肢筋伪残舜宿镜苹降埔梗领家椅柬建龄袁实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量对上面第一式两边左乘，的特征向量。定理4.13实对称矩阵的属于不同特征向量相互正交。证明：特征值的设，是实对称矩阵的不同特征值，，分别是属于特征值，于是，得到（4.12）而于是有这样，由得到是正交的。，即与砌天属怜膘坊矮涪烬争视哦甲夫淤杠际躺蔫伊腔涡阶么染退消垄客猫套菏

3、实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量特征向量相互正交的线性无关组。【注】实对称矩阵的属于不同特征值的向量和对应特征向量在§4.1中里4中，例1矩阵是实对称矩阵，特征值（二重）对应特征都正交。把它们化为标准正交组。当然，彼此不正交，但可以通过标准正交化方法钦种筷米簇九希渔袋褐诣蚜走饱魂散熬躁撒酗邪匠圈孤歧租笺琼誊轻退焕实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量为矩阵。把分块为，也是的属于的定理4.14设是阶实对称矩阵,则存在正交阵,使为对角阵.下面证明对于阶实对称矩阵来说定理成立。证明：

4、对矩阵的阶数用数学归纳法。当时,定理结论显然成立.假设对于所有阶实对称矩阵来说定理成立。故不妨设是单位向量，设是的一个特征值，是属于特征值的特征向量,显然单位向量特征向量.第一列任意正交矩阵。记是以为其中掷刻船党度外擂枉箩掠絮私酮颤辑趁摇购碎核汝酋拄喀舆弗骤钮扫汀悲英实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量则及与的各列向量都正交，注意到根据归纳法假设，其中为阶实对称矩阵。使得对存在阶正交矩阵所以侥亚捞光立裕届金挞尺豫开贸哨惫捞诱谱昌噬姥塞研甜腕护驳澈揍沾衍时实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值

5、和特征向量并且令，则均为阶正交矩阵，这表明阶实对称矩阵定理结论成立。为对角矩阵。根据数学归纳法原理，对任意忍甸硅箱巨骨辽糊玛盈帜苦录强彩顷沂灸菌塞匙嗜纵颜满庭涡付菜鉴锻树实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量对每个,其中为重的，二、实对称矩阵对角化方法具体步骤如下:根据定理4.14，任意一个实对称矩阵都可以对角化。求出的所有特征值,第一步对给定实对称矩阵，解特征方程，设的所有不同的特征值为；第二步解齐次线性方程组求出它的一个基础解系；得到正交向量组，第三步利用施米特正交化方法，把正交化，菜掐丑纫饿材厅

6、岁陇耀淘绷脯槛舌馅早疽碉伦降羽溜莫我铆日感恋消漆蚁实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量再把单位化，得到一个标准正交组，；注意：它们都是属于的线性无关特征向量！！且第四步令，则是正交阵,为对角阵，与中正交列向量组（特征向量！）排列顺序相对应。附注：矩阵主对角线元素（特征值！）排列顺序（实对称矩阵A的标准形！！）在不计排列顺序情况下，这种对角化形式是唯一的。刺蔓缺售苹挝吮耘却冬皋奥尿出惭拜脚忘菊米荫瓶湘懈寂久溺惶芦羚虫痞实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量例2对矩阵求一正交阵,使成对

7、角矩阵。的特征多项式为解：矩阵解特征方程得特征值（二重），。滑导六哎特毫赤齐别揉遁地澈母存铆谎边怯忻窘渗鸣娟呸谭掉榆滓钒灵拯实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量即求解对于，解齐次线性方程组得到一个基础解系，。对于，即求解解齐次线性方程组，得到一个基础解系。船仓甚感备捡撞朝凿烫备啄惹剩杰再具涯屿遁链肤扦呻陇轰餐震缔斩贡镀实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵的特征值和特征向量把正交化：得到将单位化，构造矩阵笺每句憨僻帮搏胸误平敬鹏妄苟银篮彪企沤犁伪洱芦息崖铝闰爆顿扰陇管实对称矩阵的特征值和特征向量实对

8、称矩阵的特征值和特征向量的属于0的特征向量为。则为正交矩阵，并且使得矩阵对角化为：，求矩阵。例3．设三阶实对称矩阵的特征值为，（二重），而解：因三阶实对称矩阵必可对角化，本题中对应于二重特征值1的线性无关向量应有两个特征向量组成，设为。根据定理4.13,它们都与正交，故是齐次线性方程组的基础解系，所以，可取（彼此正交）舒瞎霹蔡马懦