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《3.3 实对称矩阵的特征值和特征向量》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§3.3实对称矩阵的特征值和特征向量实对称矩阵特征值的性质实对称矩阵对角化方法向量的内积正交矩阵1一、向量的内积1.Def.:设=(a1,a2,…,an)T,=(b1,b2…,bn)T为Rn中的两个列向量，则称为向量与的内积.内积T也可记作(,)2一、向量的内积1.Def.:设=(a1,a2,…,an)T,=(b1,b2…,bn)T为Rn中的两个列向量，则2.内积的性质(1)(,)=(,);(2)(k,)=k(,);(3)(+,)=(,)+(,);(4)(,)0,且(,)=0=0.其中,,为Rn中的任意
2、列向量，kR.称为向量与的内积.内积T也可记作(,)33.Def.:设=(a1,a2,…,an)TRn，称为向量的长度(或模)，记作
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6、.即如果
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10、=1，则称为单位向量.4.长度的性质(1)
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14、0,且
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18、=0=0;(2)
19、
20、k
21、
22、=
23、k
24、·
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28、;(3)
29、(,)
30、
31、
32、
33、
34、·
35、
36、
37、
38、,且
39、(,)
40、=
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44、·
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47、
48、,线性相关.0，则为单位向量或标准化向量.45.Def.:设,Rn,如果T=0,则称向量,正交.6.Def.:若一个非零向量组(即该向量组中的向量都不是零向量)
49、1,2,…,s(s2)中的向量两两正交,则称非零向量组1,2,…,s为一个正交向量组.若一个正交向量组中的每一个向量都是单位向量，则称该向量组为正交单位向量组.注:(1)Rn中的零向量与任意向量都正交;(2)与自身正交的向量只能是零向量;(3)正交的几何意义:T=
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53、·
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56、
57、cos7.Th.:设1,2,…,s是一个正交向量组,则1,2,…,s线性无关.5由一个线性无关的向量组构造一个与之等价的正交向量组.8.施密特(Schmidt)正交化方法设1,2,…,s(s2)是Rn中的一个线性无关的向量组，令则1,2,…,s是
58、一个正交向量组,且{1,2,…,s}{1,2,…,s}68.施密特(Schmidt)正交化方法设1,2,…,s(s2)是Rn中的一个线性无关的向量组，令例1求与向量组1=(1,1,1)T,2=(1,-2,-3)T,3=(1,2,2)T等价的一个正交单位向量组.7例2已知求3使之与1,2都正交.二、正交矩阵1.Def.:设A为一个n阶实矩阵，若A满足ATA=E(或AAT=E)则称A为一个n阶正交矩阵.2.Th.:n阶实矩阵A为正交矩阵A可逆.A-1=AT3.Th.:n阶实矩阵A为正交矩阵A的列向量组(或行向量组)为正交单位向量组.8二
59、、正交矩阵1.Def.:设A为一个n阶实矩阵，若A满足ATA=E(或AAT=E)则称A为一个n阶正交矩阵.2.Th.:n阶实矩阵A为正交矩阵A可逆A-1=AT3.Th.:n阶实矩阵A为正交矩阵A的列向量组(或行向量组)为正交单位向量组.4.正交矩阵的性质(1)若A是正交矩阵，则A-1也是正交矩阵;(2)若A,B均为n阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵.(3)若A是正交矩阵，则detA=-1或1.9三、实对称矩阵特征值的性质1.实对称矩阵的特征值都是实数.2.实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量相互正交.3.设A为n阶实对称矩阵，则存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ成为对角
60、矩阵.四、实对称矩阵对角化方法例1求正交矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.10四、实对称矩阵对角化方法例1求正交矩阵P,使P-1AP为对角矩阵.例2设三阶实对称矩阵A的特征值为0,1(二重),属于特征值0的一个特征向量为1=(0,1,1)T.求A.11作业:第149页第1题之(2),(3);第2题练习3.2选解:2.设n阶矩阵A与B相似,m阶矩阵C与D相似,证明:126.已知矩阵求x,y的值;求矩阵P,使P-1AP=B.9.设A为3阶矩阵,1,2,3线性无关,且A1=21+2+3,A2=22,A3=-2+1.求矩阵B,使得A(1,2,3)=(
61、1,2,3)B;求A的特征值;求矩阵P和对角阵,使P-1AP=.练习3.3选解:3.设A为3阶实对称矩阵,且A2+2A=O,r(A)=2,求与A相似的对角矩阵.13
