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1、§1.11连续函数的运算与 初等函数的连续性四则运算的连续性反函数与复合函数的连续性小结思考题作业初等函数的连续性第一章函数与极限1定理1如,则由于一、四则运算的连续性也在点x0连续;在其定义域内连续.连续函数的运算与初等函数的连续性在点x0连续;在点x0连续.2如,结论:反三角函数在其定义域内皆连续定理2故同理,二、反函数与复合函数的连续性单调增加且连续,单调的连续函数必有单调的连续反函数.连续函数的运算与初等函数的连续性也是单调增加且连续.单调减少且连续.单调增加且连续.单调减少且连续.3此定理对计算某些极限是很方便的.定理3设函数是由函数复合而成,而函数连续,则连
2、续函数的运算与初等函数的连续性)]([xgfy=)(ufy=)(xgu=,)(lim00uxgxx=®若)(ufy=0uu=在).(0uf=4例解由所以定理3则有.sine=5定理4设函数是由函数与函数复合而成,若函数连续,而函数连续,则复合而成也连续.是由连续函数因此复合而成例连续函数的运算与初等函数的连续性)]([xgfy=)(ufy=)(xgu=0)(xxxgu==在,)(00uxg=且0)(uuufy==在)]([xgfy=0xx=在点6三角函数及反三角函数(1)(2)(3)是连续的;三、初等函数的连续性单调且连续;指数函数对数函数单调且连续;(均在其定义域内连
3、续)(4)幂函数连续;在它们的定义域内基本初等函数在定义域内是连续的.连续函数的运算与初等函数的连续性7定义区间是指包含在定义域内的区间.基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续1.初等函数仅在其定义区间内连续,如,这些孤立点的邻域内没有定义.注在其定义域内不一定连续;连续函数的运算与初等函数的连续性8例例解解2.初等函数求极限的方法注代入法.连续函数的运算与初等函数的连续性9利用连续性求极限练习练习练习解解练习练习10求解:原式练习连续函数的运算与初等函数的连续性11连续函数的运算与初等函数的连续性练习解2
4、002年考研数学三,填空题,3分12x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.答案:x=1是第一类可去间断点,例讨论函数解为间断点13例确定函数间断点的类型.解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.14四、小结连续函数的和差积商的连续性;复合函数的连续性:初等函数的连续性:求极限的又一种方法.两个定理;两点意义.反函数的连续性;定义区间与定义域的区别;连续函数的运算与初等函数的连续性15思考题1连续函数的运算与初等函数的连续性如果函数f(x)、g(x)至少有一个在点x0不那么,f(x)+g(x)在该点是否连续?连续,思考题2(是非题)处有定义,则16解答连续函数的运算与初
5、等函数的连续性思考题1如果函数f(x)、g(x)至少有一个在点x0不那么,f(x)+g(x)在该点是否连续?连续,(1)若两个函数中只有一个在点x0不连续,则f(x)+g(x)在点x0必不连续.用反证法证之:不妨设在点x0,并假设f(x)+g(x)在点x0连续,则由连续函数的运算性质有:在点x0连续,与已知矛盾.故f(x)+g(x)在点x0不连续.f(x)连续,g(x)不连续;17解答连续函数的运算与初等函数的连续性思考题1如果函数f(x)、g(x)至少有一个在点x0不连续,(2)若f(x)、g(x)在点x0均不连续,则在f(x)+g(x)在点x0可能连续,那么,f(x
6、)+g(x)在该点是否连续?也可能不连续.如:在x=0处均不连续,在x=0处在x=0处连续.在x=0处均不连续,在x=0处亦不连续.18思考题2(是非题)处有定义,则连续函数的运算与初等函数的连续性非故但19连续函数的运算与初等函数的连续性思考题2(是非题)处有定义,则所以,不存在.故正确的说法是:在点x0连续,处亦连续,则20思考题设均在上连续,证明函数也在上连续.证:根据连续函数运算法则,可知也在上连续.连续函数的运算与初等函数的连续性21
