资源描述：
《一、连续函数的算数运算.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一、连续函数的算数运算第十节三、初等函数的连续性机动目录上页下页返回结束连续函数的运算与性质第一章四、闭区间上连续函数的性质*五、一致连续性二、反函数与复合函数的连续性定理2.连续单调递增函数的反函数在其定义域内连续一、连续函数的算术运算定理1.在某点连续的有限个函数经有限次和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明)商(分母不为0)运算,结果仍是一个在该点连续的函数.例如,例如,在上连续单调递增，其反函数(递减).(证明略)在[－1,1]上也连续单调递增.递增(递减)也连续单调机动目录上页下页返回结束二、反函数与复合函数的连续
2、性定理3.连续函数的复合函数是连续的.在上连续单调递增,其反函数在上也连续单调递增.证:设函数于是故复合函数又如,且即机动目录上页下页返回结束例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而成,机动目录上页下页返回结束定理4.若函数则有在点处连续，机动目录上页下页返回结束例1解例2解(P71例1)(P71例2)例3解:(P71例3)法一法二原式说明:若则有机动目录上页下页返回结束三、初等函数的连续性1.基本初等函数在定义域内连续2.连续函数经四则运算仍连续3.连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续(举例见P72)例如,的连
3、续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例4机动目录上页下页返回结束4.幂指函数例5解:(P72例5)例6注意:若函数在开区间上连续,结论不一定成立.四、闭区间上连续函数的性质定理5.（最值定理）在闭区间上连续的函数在该区间即:设则使上一定有最大值和最小值.或在闭区间内有间断(证明略)点,机动目录上页下页返回结束(P73定理7)例如,无最大值和最小值也无最大值和最小值又如,机动目录上页下页返回结束定理6.由定理5可知有证:设上有界.定理7.(零点定理)至少
4、有一点且使机动目录上页下页返回结束(证明略)在闭区间上连续的函数在该区间上有界.(P73定理8)(P73定理9)零点.定理8.(介值定理)设且则对A与B之间的任一数C,一点证:作辅助函数则且故由零点定理知,至少有一点使即推论:使至少有在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值.机动目录上页下页返回结束(P73定理10)例7.证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即在区间内至少有小结目录上页下页返回结束(P74例6)例8.且证明:证:且故由零点定理知,至少有一点使即使存在机动目录上页下页返回结束(P
5、74例7)设作辅助函数内容小结基本初等函数在定义域内连续连续函数的四则运算的结果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续1.初等函数在定义区间内连续说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.机动目录上页下页返回结束初等函数在定义区间内连续2.闭区间上连续函数的性质在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4).当时,使必存在上有界;在在机动目录上页下页返回结束思考与练习续?反例x为有理数x为无理数处处间断,处处连续.反之是否成立?提示:“反之”不成立.第十节目录上页下页返回结束则证明至少存在使提示
6、:令则易证2.设一点习题课目录上页下页返回结束作业P751,2(3),(5),(6);3;8(P76题9)备用题至少有一个不超过4的证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.机动目录上页下页返回结束
