南通市2013届第二次调研测试数学参考答案及评分建议.doc

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1、南通市2013届高三第二次调研测试数学参考答案及评分15.【解】（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，于是，所以bc=4．因为，所以．由余弦定理得．（2）由得，即，解得或4．设BC的中点为D，则，因为O为△ABC的外心，所以，于是．所以当时，，；当时，，．16.【证】（1）因为BC//平面PAD，而BC平面ABCD，平面ABCD平面PAD=AD，所以BC//AD．因为AD平面PBC，BC平面PBC，所以平面．…ABCPDH（2）自P作PHAB于H，因为平面平面，且平面平面=AB，所以平面．因为BC平面ABCD，所以BCPH．因为,所以BCPB，而，于是点H与B不

2、重合，即PBPH=H．因为PB，PH平面PAB，所以BC平面PAB．…………12分因为BC平面PBC，故平面PBC平面PAB．17．【解】（1）如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1 000×5平方米，所有建筑费用为［(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+800)+(5k+800)］×1 000×10，所以，1 270＝，解之得：k＝50．（2）设小区每幢为n(n∈N*)层时，每平方米平均综合费用为f(n)，由题设可知f(n)＝＝+25n+825≥2+825＝1225(元).当且仅当＝25n，即n＝8时等号成立．答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合

3、费用最低，此时每平方米平均综合费用为1225元．18.【解】（1）因为(0)＝9>0，所以f(x)在区间上只能是单调增函数．由(x)＝3(m－3)x2+9≥0在区间(－∞，+∞)上恒成立，所以m≥3．故m的取值范围是［3，+∞)．（2）当m≥3时，f(x)在［1，2］上是增函数，所以[f(x)]max＝f(2)＝8(m－3)＋18＝4,解得m＝<3，不合题意，舍去．当m＜3时，(x)＝3(m－3)x2+9=0，得．所以f(x)的单调区间为：单调减，单调增，单调减．①当，即时，，所以f(x)在区间［1，2］上单调增，[f(x)]max＝f(2)＝8(m－3)＋18＝4，m＝，不满足

4、题设要求．②当，即0＜m＜时，[f(x)]max舍去．③当，即m≤0时，则，所以f(x)在区间［1，2］上单调减，[f(x)]max＝f(1)＝m+6＝4，m＝－2.综上所述：m＝－2．19．【解】（1）当r＝2，M(4，2)，则A1(－2，0)，A2(2，0).直线MA1的方程：x－3y+2=0，解得．直线MA2的方程：x－y－2=0，解得．由两点式，得直线PQ方程为：2x－y－2=0．（2）证法一：由题设得A1(－r，0)，A2(r，0).设M(a，t)，直线MA1的方程是：y=(x+r)，直线MA1的方程是：y=(x－r)．解得．解得．于是直线PQ的斜率kPQ＝，直线PQ的

5、方程为．上式中令y=0，得x＝，是一个与t无关的常数.故直线PQ过定点．证法二：由题设得A1(－r，0)，A2(r，0).设M(a，t)，直线MA1的方程是：y=(x+r)，与圆C的交点P设为P(x1，y1)．直线MA2的方程是：y=(x－r)；与圆C的交点Q设为Q(x2，y2)．则点P(x1，y1)，Q(x2，y2)在曲线［(a+r)y－t(x+r)］［(a－r)y－t(x－r)］=0上，化简得(a2－r2)y2－2ty(ax－r2)+t2(x2－r2)＝0．①又有P(x1，y1)，Q(x2，y2)在圆C上，圆C：x2+y2－r2＝0．②①－t2×②得(a2－r2)y2－2ty

6、(ax－r2)－t2(x2－r2)－t2(x2+y2－r2)＝0，化简得：(a2－r2)y－2t(ax－r2)－t2y＝0．所以直线PQ的方程为(a2－r2)y－2t(ax－r2)-t2y＝0．③在③中令y=0得x=，故直线PQ过定点．20．【解】（1）因为，所以若，则矛盾，若，可得矛盾，所以．于是，从而．（2）是公差为1的等差数列，证明如下：时，，所以，，即，由题设，，又，所以，即是等差数列．OAEBDFCA.【证明】连结OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠C

7、EO=90°．所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB·DA．所以DE2=DB·DA．B.【解】设曲线上任一点在矩阵对应的变换下的像是,由,得因为在圆上,所以，化简可得．依题意可得，或而由可得．故,．C.【解】（1）圆的极坐标方程为，圆的极坐标方程为，由得，故圆交点坐标为圆．（2）由（1）得，圆交点直角坐标为，故圆的公共弦的参数方程为注：第（1）小题中交点的极坐标表示不唯一；第（2）小题的结果中，若未注明参数范围，扣2分．D．【解】