§2.8 Laplace展开定理.ppt

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1、§2.8Laplace展开定理利用行列式的依行（列）展开可以把n阶行列式化为n-1阶行列式来处理，这在简化计算以及证明中都有很好的应用。但有时我们希望根据行列式的构造把n阶行列式一下降为n-k阶行列式来处理，这是必须利用Laplace展开定理。为了说明这个方法，先把余子式和代数余子式的概念加以推广。定义（k阶子式和它的余子式）：在n阶行列式D中，任意取定k行或k列（），设为第行和第列。位于这些行列式交叉位置上的元素构成的k阶子式记为N，则在D中划去这k行k列后，余下的元素按照原来相对位置所构成的n-k阶子式，称为子式N的余子式。定义（代数余子式）：N的余子式M附以符号，即称

2、为N的代数余子式。注意：1、当k=1时，上面定义的余子式和代数余子式就是§2.5中关于一个元素的余子式和代数余子式。2、M是N的余子式，N便是M的余子式，M、N互为余子式。例2.8.1写出行列式第三行所得的所有二阶子式及它们的余子式和代数余式。二阶子式共有中取定第一行和个。引理：n阶行列式D的任一个子式N与它的代数余子式乘积中的每一项都是行列式D的展开式中的一项，而且符号也一致。证明：首先考虑N位于行列式D的左上方（即第1，2，…，k行和第1，2，…，k列）的情况。这时D中k阶子式N的余子式位于右下角，其代数余子式为N的每一项可写作：，其中是1，2，…，k的一个排列。所以这

3、一项前面所带符号为：，中每一项可写为其中是k+1,k+2,…,n的一个排列。这一项在M中所带的符号是：（或）。这两项的乘积是：所带的符号是：由于都比k大，所以上述符号等于。因此这个乘积是行列式D中的一项而且符号相同。现考虑N位于D的第行，第列。这里为了利用前面的结论，我们先把第行依次与行对换，这样经过次对换把第行换到第1行，再把第行依次与第行对换而换到第2行，共经次对换，如此进行下去，一共经过次行对换把第行换到第1，2，…，k行。利用类似的列变换，可以把N的第列换到第1，2，…，k列，这时一共经过次列变换，把N换到左上角，把M换到右下角。用表示经上述行、列变换后得到的新行列

4、式，由于一次行（列）对换改变行列式的符号，故新、旧行列式之间有如下关系：由此可知，和D的展开式中出现的项是一样的，只不过每一项都相差符号为现在N位于的左上角，它的余子式位于的右下角，由第一步知中的每一项都是中的一项且符号相同，故中每一项都与D中的一项相等且符号一致。定理2.8.1（Laplace定理）：设在行列式D中任意取定行，由这k行元素所组成的一切k阶子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D。证明：设D中取定k行后所得的子式为它的代数余子式分别为下证—（1）由引理知，中的每一项都是D中一项而且符号相同，而且和无公共项。因此要证明（1）式成立，只要证明等式两边的项数相

5、等就可以了。由定义知D中共有项，为了计算（1）的右边的项数，先算出t共有多少个。由组合公式知因此取出的k阶子式共有个，而中共有项，中共有项，故等式（1）的右边的项数共有例2.8.2计算行列式解：取定1、4两行，由Laplace定理得由上例可知，对特殊类型的行列式，Laplace展开能使计算简化，另外，定理还能用于理论证明。定理2.8.2（行列式相乘规则）：两个n阶行列式和的乘积等于行列式，其中为中第i行元素与中第j列对应元素的乘积之和，即证明：构造一个2n阶行列式取定前n行，根据Laplace展开得对作消法变换，即分别用乘第1列，第2列，…，第n列加到第n+1列，用乘第1列

6、，第2列，…，第n列加到第n+2列，…，用乘第1列，第2列，…，第n列加到第2n列，则化为由此得两个n阶行列式的乘法规则是：