第1章：离散时间信号与系统2.ppt

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1、1.4离散时间系统系统的属性：线性、时不变、线性时不变系统；因果性、稳定性系统的差分方程描述1.4离散时间系统T[·]离散时间系统x(n)y(n)一个离散时间系统在数学上的定义是将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的唯一性变换或运算。它的输入是一个序列，输出也是一个序列，其本质是将输入序列转变成输出序列的一个运算。y(n)=T[x(n)]对T[·]加以种种约束,可定义出各类离散时间系统。离散时间系统中最重要、最常用的是“线性、时不变系统”。T[.]1.线性系统若系统的输入为x1(n)和x2(n)时，输出分别为y1(

2、n)和y2(n)，即y1(n)=T[x1(n)]，y2(n)=T[x2(n)]如果系统输入为ax1(n)+bx2(n)时，输出为ay1(n)+by2(n)，其中a，b为任意常数，则该系统为线性系统。所以，线性系统的条件为T[ax1(n)+bx2(n)]=aT[x1(n)]+bT[x2(n)]=ay1(n)+by2(n)2.时不变系统如果T[x(n)]=y(n)，则T[x(n-n0)]=y(n-n0)(n0为任意整数),系统的特性不随时间而变化。例:设一系统的输入输出关系为y(n)=x2(n)试判断系统是否为线性？解：输

3、入信号x(n)产生的输出信号T[x(n)]为T[x(n)]=x2(n)输入信号ax(n)产生的输出信号T[ax(n)]为T[ax(n)]=a2x2(n)除了a=0,1情况，T[ax(n)]aT[x(n)]。故系统不满足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统。3.线性时不变系统δ(n)h(n),x(n)y(n)?离散卷积3.线性时不变系统线性时不变系统——既满足迭加原理又具有时不变性的系统。线性时不变系统可以用单位脉冲响应来表示。我们知道，任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的加权和如令h(n)为系统对单位脉冲序列

4、的响应，h(n)=T[δ(n)]则系统对任一输入序列x(n)的响应为由于系统是线性的，满足迭加定理因此该式表明：对任何线性时不变系统，可完全通过其单位脉冲响应h(n)来表示。这个公式和模拟系统的卷积是类似的，称为离散卷积，或线性卷积。又由于系统是时不变的，对移位的单位脉冲的响应等于单位脉冲响应的移位。注：只有线性时不变系统才能由单位脉冲响应来表示令m′=n-m，做变量代换，则卷积公式变为因此，x(m)与h(n-m)的位置可对调,即输入为x(n)、单位脉冲响应为h(n)的线性时不变系统与输入为h(n)、单位脉冲响应为x(

5、n)的线性时不变系统具有同样的输出）离散卷积也称为“线性卷积”或“直接卷积”，以区别其他种类的卷积。离散卷积过程：①  对h(m)绕纵轴折叠，得h(-m)；②  对h(-m)移位得h(n-m)；③将x(m)和h(n-m)所有对应项相乘之后相加，得离散卷积结果y(n)。4、系统的稳定性与因果性线性和时不变两个约束条件定义了一类可用卷积和表示的系统。稳定性和因果性也是很重要的限制。稳定系统：对于每一个有界输入产生一个有界输出的系统为稳定系统。稳定系统的充要条件是其单位脉冲响应绝对可和，即因果系统：系统的输出y(n)只取决于

6、当前以及过去的输入，即x(n)，x(n-1)，x(n-2)……。非因果系统：如果系统的输出y(n)取决于x(n+1)，x(n+2)，…，即系统的输出取决于未来的输入，则是非因果系统，也即不现实的系统(不可实现)。因果系统的充要条件h(n)≡0，n<0例：分析单位脉冲响应为h(n)=anu(n)的线性时不变系统的因果性和稳定性。既然，n<0时，h(n)=0，系统是因果的如果

7、a

8、<1,则如果

9、a

10、≥1,则s→∞，级数发散。故系统仅在

11、a

12、<1时是稳定的稳定的因果系统：既满足稳定性又满足因果性的系统。这种系统的单位脉冲响应

13、既是单边的，又是绝对可和的，即5、系统的差分方程描述系统输入输出之间的运算关系一个线性的连续时间系统总可以用线性微分方程来表达。而对于离散时间系统，由于其变量n是离散整型变量，故只能用差分方程来反映其输入输出序列之间的运算关系。其N阶线性常系数差分方程的一般形式：其中ai、bi都是常数。离散系统差分方程表示法有两个主要用途：①由差分方程得到系统结构；②求解系统的单位脉冲响应；例：用途一，由一阶差分方程画网络结构y(n)=ay(n-1)+x(n)由此得到它的网络结构如图Ta网络结构用途二在给定输入和给定初始条件下，用递推

14、的方法求系统瞬态解例，一阶差分方程系统：其输入为解：①初始条件为y(n)=0，n<0n=0以的前的输出已由初始条件给定，瞬态解从n=0求起，由差分方程、初始条件和输入，得：依次递推┆①，稳定、因果系统②输入相同，但初始条件改为n>0，y(n)=0将上述差分方程改写成y(n-1)=2[y(n)-1.5x(n)]此时y(0)=2[y(