第3次课--条件概率全概率公式.ppt

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1、1§3、条件概率一、条件概率的概念与计算〖解〗易知:【引例】将一枚硬币连抛两次,观察正反面出现的情况。设事件A:“两次同面”,事件B:“至少有一次正面”,求“在事件B发生的条件下事件A发生”的概率P(A

2、B)。在“至少有一次正面”发生的条件下计算A发生的概率时,可取B为样本空间(缩减样本空间),此时,A只含一个样本点HH,故■2显然,P(A

3、B)≠P(A)=1/2。定义1设A,B为两个事件,且P(B)>0,称为“在事件B发生的条件下事件A发生”的条件概率。由此,一般可定义条件概率。此外,在样本空间中易计算得:P(B)=3/4,P(AB)=1/4,且有3不难看出,计算条

4、件概率P(A

5、B)有两种方法:在原样本空间中分别求出P(A),P(AB),再按定义公式计算;在缩减样本空间B中按一般概率计算P(A).4〖解〗:由条件可得:【例1】一盒子装有5只产品,其中3只正品,2只次品。从中取产品两次,每次取一只,作不放回抽样,求在第一次取到正品条件下,第二次取到也是正品的概率.分析:如果设事件A为“第一次取到正品”,事件B为“第二次取到正品”,则问题转化为求条件概率P(B

6、A).故有【例2】:某地某天下雪的概率为0.3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求:(1)在下雨条件下下雪的概率;(2)这天下雨或下雪的概率.解:设A={下雨

7、},B={下雪}.(1)(2)61、条件概率也是概率.因而也满足概率的三条公理及其各个性质。对立事件概率公式:等等,此处不一一列举.二、条件概率的性质例如,加法公式:7注意:①当P(A)>0时,乘法公式与条件概率定义式是等价的;②当P(A)>0,P(B)>0时,有P(AB)=P(A)P(B

8、A)=P(B)P(A

9、B);③乘法公式可以推广到多事件情形.例如,三事件的乘法公式为P(ABC)=P(A)P(B

10、A)P(C

11、AB)(其中P(AB)>0).由条件概率定义即可得:乘法定理设A,B为两个事件,且P(A)>0,则2、乘法定理8【例3】据以往资料表明,某一3口之家患某种传

12、染病的概率有以下规律:P{孩子得病}=0.6,P{母亲得病

13、孩子得病}=0.5,P{父亲得病

14、母亲及孩子得病}=0.4.求“母亲及孩子得病但父亲未得病”的概率。〖解〗设A,B,C分别表示孩子、母亲、父亲得病的事件。由题意知:现求由乘法公式得:■9注意由于本例中都是地位平等的随机事件,没有一个事先知道确已发生,所以所求概率是积事件概率,而不是条件概率【例4】:一批彩电,共100台,其中有10台次品,采用不放回抽样依次抽取3次,每次抽一台,求第3次才抽到合格品的概率.解:设为第次抽到合格品的事件,则有113、全概率公式与贝叶斯公式(i)AiAj=Φ(i≠j,i,j=1,2

15、,…,n);(ii)例如,在掷一枚骰子观察出现的点数试验中,定义2设为随机试验E的样本空间,A1,A2,…,An为E的满足下列条件的事件组:则称A1,A2,…,An为样本空间的一个划分.B1={1,2,3},B2={4,5},B3={6}就是样本空间的一个划分.12【证】因为A可互斥分解为所以由有限可加性与乘法定理得:■定理1(全概公式)设为试验E的样本空间,A1,A2,…,An为的一个划分,且P(Ai)>0(i=1,2,…,n),则对任意事件B有全概率公式:13【例5】:某工厂生产的产品以100件为一批,假定每一批产品中的次品数最多不超过4件,且具有如下的概率:一批

16、产品中的次品数0,1,2,3,4,概率0.1,0.2,0.4,0.2,0.1,现进行抽样检验,从每批中随机取出10件来检验,若发现其中有次品,则认为该批产品不合格,求一批产品通过检验的概率.解:以表示一批产品中有i件次品,i=0,1,2,3,4,B表示通过检验,则由题意得14【证】由条件概率、乘法定理与全概率公式得定理2(贝叶斯公式)设为试验E的样本空间,A1,A2,…,An为的一个划分,B为E的事件,且P(Ai)>0(i=1,2,…,n),P(B)>0,则有:15在应用全概率公式与贝叶斯公式时,有两个问题需要弄清楚:当事件的发生是由诸多两两互斥的原因而引起的,可以将

17、这些“原因”看作划分.2、如何区分是用全概率公式还是用贝叶斯公式1、如何确定划分“由因求果”用全概率公式,“执果求因”用贝叶斯公式.16【例6】设工厂甲和工厂乙的产品次品率分别为1%和2%,现从甲与乙的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属甲厂生产的概率是多少?〖解〗由于产生次品的“原因”是“甲厂生产”和“乙厂生产”,因此,划分可设为:事件B为“随机抽取一件为次品”.由全概率公式得:17由贝叶斯公式得:■【例7】设某工厂有甲,乙,丙3个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的45%,35%,20%,且各车间的次品率分别为

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