2020版高考数学大二轮复习课时作业10递推数列及数列求和的综合问题文.docx

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1、课时作业10　递推数列及数列求和的综合问题1．[2018·天津卷]设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是等差数列．已知a1＝1，a3＝a2＋2，a4＝b3＋b5，a5＝b4＋2b6.(1)求{an}和{bn}的通项公式．(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*)，①求Tn；②证明．解析：(1)解：设等比数列{an}的公比为q.由a1＝1，a3＝a2＋2，可得q2－q－2＝0.由q>0，可得q＝2，故an＝2n－1.设等差数列{bn}的公差为d.由a4＝b3＋b5，可得b1＋3d＝4.由a5

2、＝b4＋2b6，可得3b1＋13d＝16，从而b1＝1，d＝1，故bn＝n.所以，数列{an}的通项公式为an＝2n－1，数列{bn}的通项公式为bn＝n.(2)①解：由(1)，有Sn＝＝2n－1，故Tn＝(2k－1)＝k－n＝－n＝2n＋1－n－2.②证明：因为＝＝＝－，所以，.2．[2019·重庆市七校联合考试]已知等差数列{an}的公差为d，且关于x的不等式a1x2－dx－3<0的解集为(－1,3)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝2＋an，求数列{bn}的前n项和Sn.解析：(1)由题意知，方程a1x2－dx

3、－3＝0的两个根分别为－1和3.则，解得.故数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)由(1)知an＝2n－1，所以bn＝2＋an＝2n＋(2n－1)，所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝2n＋1＋n2－2.3．[2019·江西七校第一次联考]设数列{an}满足：a1＝1,3a2－a1＝1，且＝(n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且b1＝，4bn＝an－1an(n≥2)，求Tn.解析：(1)∵＝(n≥2)，∴

4、＝＋(n≥2)．又a1＝1,3a2－a1＝1，∴＝1，＝，∴－＝，∴是首项为1，公差为的等差数列．∴＝1＋(n－1)＝(n＋1)，即an＝.(2)∵4bn＝an－1an(n≥2)，∴bn＝＝－(n≥2)，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－4．[2019·昆明市诊断测试]已知数列{an}是等比数列，公比q<1，前n项和为Sn，若a2＝2，S3＝7.(1)求{an}的通项公式；(2)设m∈Z，若Sn

5、n＝＝＝8<8.因为an>0，所以Sn单调递增．又S3＝7，所以当n≥4时，Sn∈(7,8)．又Sn

6、n}的通项公式为an＝.(2)由(1)知bn＝①当n为奇数时，Sn＝1＋32＋3＋34＋…＋3n－1＋n＝·＋＝＋(3n－1－1)．②当n为偶数时，Sn＝1＋32＋3＋34＋…＋(n－1)＋3n＝·＋＝＋(3n－1)．所以数列{bn}的前n项和Sn＝6．[2019·安徽合肥模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d>0，且a2a3＝40，a1＋a4＝13，在公比为q(0

7、和Tn.解析：(1)因为{an}为等差数列，所以a1＋a4＝a2＋a3＝13，又a2a3＝40，所以a2，a3是方程x2－13x＋40＝0的两个实数根．又公差d>0，所以a2

8、－4)×n＋(3n－1)×n＋1，两式相减，得Tn＝2×1＋32＋3＋…＋n－(3n－1)×n＋1＝1＋3×－(3n－1)×n＋1＝－n×.故{cn}的前n项和Tn＝5－(3n＋5)×n.