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1、定积分0定积分概念与性质分割取近似求和取极限2.变速直线运动的路程（1）分割（2）取近似共同特性分割，取近似，求和，取极限(3)求和（4）取极限二.定积分的定义1.定义曲边梯形的面积变速运动的路程定理1.设f(x)在区间[a,b]上有界,且有有限个第一类间断点,则f(x)在[a,b]上可积.注(1)定积分是一个数值与被积函数有关。(2)定积分的值与区间的分法无关,2.定积分存在的充分条件(3)定积分的值只与区间长度有关，与的取法无关3.定积分的几何意义例1利用定积分的定义计算三.定积分的性质对于c在区间[a,b]之内或之外,结论同样成立几何解释：在[a,b]上至少存在
2、一点,使曲边梯形的面积等于以为高的一个矩形面积定积分与原函数的关系一.变上限的定积分及其导数定理表明:(1)连续函数一定存在原函数(2)把定积分与原函数之间建立起联系二.牛顿-----莱布尼兹公式第四节定积分的换元积分法与分布积分法一.定积分的换元积分法注意:换元的同时一定要换限二.定积分的分布积分法定积分应用定积分的微元分析法用定积分表示的量U必须具备三个特征:一.能用定积分表示的量所必须具备的特征(3)部分量的近似值可表示为二.微元分析法则U相应地分成许多部分量;用定积分表示量U的基本步骤:(1)U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量;(2)U对于区间[a,
3、b]具有可加性.即如果把区[a,b]分成许多部分区间,根据问题的具体情况,选取一个变量(2)在区间[a,b]内任取一个小区间,求出相应于这个小区间的部分量的近似值.在处的值与的乘积,就把称为量U的微元且记作,即如果能近似地表示为[a,b]上的一个连续函数例如x为积分变量,并确定其变化区间[a,b];(3)以所求量U的微元为被积表达式,在区间[a,b]上作定积分,得平面图形的面积一直角坐标情形1.曲边梯形当f(x)在[a,b]上连续时,由曲线y=f(x)和x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形面积就是2.一般图形以及两条直线x=a,x=b之间的图形的面积微元为如果函数在[
4、a,b]上连续,且则介于两条曲线注意:根据具体的图形特点,也可以选择作为积分变量或者利用图形的对称性简化计算.例1求椭圆的面积(如图).解由对称性,椭圆的面积其中为椭圆在第一象限部分.xyoyxaboxx+dx则图形的面积为则例2求由所围图形面积.解两抛物线的交点为(0,0)及(1,1).取x为积分变量,其变化区间为[0,1].由前面讨论可知:(1,1)oyx例3求由所围图形面积.解两曲线的交点为(2,-2)及(8,4).根据此图形特点,可以选择y作为积分变量,其变化区间为[-2,4].yx(2,-2)(8,4)图形的面积微元为:从而可得图形面积二.极坐标情形1.曲边
5、扇形其中r()在[,]上连续,且r()0.相应于[,+d]的面积微元为则图形面积为or=r()设图形由曲线r=r()及射线=,=所围成.取为积分变量,其变化区间为[,],2.一般图形及射线=,=所围图形的面积微元为则面积为o相应于从0到2的一段弧与极轴所围图形的面积.解如图,可视为=0,=2及r=a围成的曲边扇形.则其面积为o由曲线例4求阿基米德螺线r=a(a>0)上NoM例5求r=1与r=1+cos所围公共面积.解如图,曲线交点为由对称性则而三.参数方程情形当曲边梯形的曲边为参数方x=(t),y=(t),
6、且()=a,()=b,在[,]上(t)有连续导数,(t)连续,则曲边梯形面积面积为在例1中,若采用椭圆的参数方程则立体的体积一.平行截面面积已知的立体体积点x且垂直于x轴的截面面积.如图,体积微元为dV=A(x)dx,则体积为例1如图,从圆柱体上截下一块楔形体,abx求其体积.取x为积分变量,其变化范围为[a,b].设立体介于x=a,x=b之间,A(x)表示过则边长分别为y和ytan.因此如图,过x的截面是直角三角形,解-RRyxoxyxyoRh高为h的正劈锥体的体积.底边长为2y,高为h.因此则过x的截面是等腰三角形,解如图,例2求以圆为底,平
7、行且等于底圆直径的线段为顶,称为旋转体.则如前所述,可求得截面面积二.旋转体的体积则平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体设旋转体由图1的曲边梯形绕x轴形成.yxaby=f(x)ox图1同理,如旋转体由图2的曲边梯形绕y轴形成.ycoxdx=(y)例3求如图直角三角形绕x轴旋转而成的圆锥体的体积.解可求得过点O及P(h,r)的直线方程为由公式得yoxP(h,r)则体积为图2图3例4求星形线绕x轴旋转而成的立体体积解由对称性及公式aaxy例5求圆心在(b,0),半径为a(b>a)的圆绕y轴旋转而成的环状体的体积.yxoba解圆的方程为,则所求体
