定积分概念与性质图文.ppt

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1、第6章定积分§6.1定积分概念与性质§6.2微积分基本公式§6.3定积分的换元积分法和分部积分法§6.4定积分的应用§6.5反常积分初步目录上一页目录下一页退出§6.1定积分概念与性质一、定积分问题举例1　曲边梯形的面积.上一页目录下一页退出设在区间上非负、连续．由曲线及直线所围成的图形称为曲边梯形，下面我们讨论如何求这个曲边梯形的面积．上一页目录下一页退出图6-1在区间内任意插入个分点，这样整个曲边梯形就相应地被直线上一页目录下一页退出分成个小曲边梯形，区间被分成个小区间的长这时它的面积可以用小矩形的面积来近似．在每个小上任取一点,用作为第形的高(图6-1)，则第个小曲边梯形面

2、积的近似值为,第小区间度．对于第个小曲边梯形来说，当其底边长足够小时，其高度的变化也是非常小的，区间个小矩上一页目录下一页退出个小曲边梯形的面积相加，得到整个曲边梯形面积的近似值从直观上看，当分点越密时，小矩形的面积与小曲边梯形的面积就会越接近，因而和式与曲边梯形的面积也会越接近，记,当时,和式的极限即为曲边梯形的面积，即．这样，将上一页目录下一页退出2　变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度是时间间隔的连续函数，且上，计算在这段时间内物体所经过的路程对于匀速直线运动，有公式：路程＝速度×时间．但是在我们的问题中，速度不是常量而是随时间变化着的变量，因此所求路程是连续变化

3、的，在很短的时间内，速度的变化很小．因此如果把时间间隔分小，在小段时间不能直接按匀速直线.上一页目录下一页退出以匀速运动近似代替变速运动，那么就可算出各部分路程的近似值；再求和得到整个路程的近值．最后，通过对时间间隔无限细分的极限过程，求得物体在时间间隔描述可以类似于上述求曲边梯形面积的做法进行，具体描述为：在区间内任意插入个分点，把区间分成个小区间内的路程．对于这一问题的数学.上一页目录下一页退出各小区间的长度依次为在时间间隔上的路程的近似值为其中为区间上的任意一点．整个时间段上路程的近似值为上一页目录下一页退出记,当时，和式的极限即为物体在时间间隔内所走过的路程．即二、定积分

4、的定义上面的两个例子面积路程.上一页目录下一页退出抛开这些问题的具体意义，抓住它们在数量上共同的本定义1设函数在区间上有界，在中任意插入个分点分成把区间个小区间各小区间的长度依次为质与特性加以概括，我们可以抽象出下述定积分的概念．..上一页目录下一页退出在每个小区间上任取一点，作乘积，再作和式（6-1）记,如果不论对怎样分法，也不论在小区间上点怎样取法，只要当.上一页目录下一页退出时，和总趋于确定的极限，这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分(简称积分)，记作,即(6-2)其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间．上一页目录下一页

5、退出注当和式的极限存在时，其极限值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量所用的字母无关，即如果在上的定积分存在，我们就说在上可积．相应的和式也称为积分和．.上一页目录下一页退出对于定积分，有这样一个重要问题：函数在上满足怎样的条件，上一定可积?在定理1设在区间上连续，则上可积．在定理2设在区间上有界，且只有有限个间断点，则在上可积．利用定积分的定义，前面所讨论的实际问题可以分别表述如下：.上一页目录下一页退出曲线与轴及两条直线所围成的曲边梯形的面积等于函数在区间上的定积分．即物体以变速作直线运动，从时刻到时刻，物体经过的路程等于函数在区间上的定积分，即..上一页目录下一页退出三

6、、定积分的几何意义在区间上时，我们已经知道，定积分在几何上表示曲线及两条直线与轴所围成的曲边梯形的面积；在上时，由曲线及两条直线与轴所围成的曲边梯形位于轴的下方，定积分在几何上表示上述曲边.上一页目录下一页退出梯形面积的负值；在上既取得正值又取得负值时，函数的图形某些部分在轴上方，而其他部分在轴的下方(图6-2)．如果我们对面积赋以正负号，在轴上方的图形面积赋以正号，在轴下方的图形面积赋以负号，此时定积分表示介于轴、函数的图形及两条直线之间的各部分面积的代数和．图（6-2）..上一页目录下一页退出四、定积分的性质为了以后计算及应用方便起见，先对定积分作以下两点补充规定：(1)当时

7、，(2)当时，在下面的讨论中，积分上下限的大小，如不特别指明，均不加限制；并假定各性质中所列出的定积分都是存在的．..上一页目录下一页退出性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)，即性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即(是常数)．性质3如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设，则.上一页目录下一页退出按定积分的补充规定，不论的相对位置如何，总有等式成立．例如，当时，由于于是得.上一页目录下一页退出性质4如果在区间上