§41 定积分概念与性质.ppt

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1、§4.1定积分的概念与性质§4.3积分的基本公式第四章积分及其应用§4.4换元积分法§4.2不定积分的概念与性质§4.5分部积分法§4.6无限区间上的反常积分§4.7积分学的应用学习目标教学建议一.定积分的定义二.定积分的几何意义§4.1定积分的概念与性质三.定积分的性质一.定积分的定义规则图形的面积矩形的面积=长宽.长宽高下底上底直角梯形的面积=中位线,长为直角梯形的面积可用矩形面积计算.那么,不规则图形的面积如何求呢?用若干条平行于轴及轴的直线将图形分割,所求面积应为被分割的所有小面积之和.如左图,将其放入平面直角坐标系中.我们分析:由三条直线

2、和一条曲线围成,其中两条直线互相平行,第三条直线与这两条直线垂直,另一边为曲线,称这样的图形为曲边梯形.对四周的不规则图形,面积怎么求?只要将其求出,则大的不规则图形面积也即求出.??????????求不规则图形的面积问题其中,中间部分为矩形,易求面积.转化为求曲边梯形的面积问题案例如何求曲边梯形的面积?将曲边梯形放在平面直角坐标系中,则由连续曲线称为曲边梯形.直线和(即轴)所围成的平面图形=面积直曲对立统一按下述程序计算曲边梯形的面积:在区间上任意选取分点…,每个小区间的长度为其中最长的记作==分成个小区间我们从计算矩形面积出发计算曲边梯形面积.

3、(1)分割——分曲边梯形为个小曲边梯形==过每个分点()作轴的垂线,把曲边梯形分成个窄曲边梯形.(1)分割——分曲边梯形为个小曲边梯形用表示所求曲边梯形的面积.表示第个小曲边梯形面积,则有:==(2)近似代替——用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积在每一个小区间上任选一点(),用与小曲边梯形同底,以为高的小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,即==(3)求和——求个小矩形面积之和个小矩形构成的阶梯形的面积是,这是原曲边梯形面积的一个近似值.即(4)取极限——由近似值过渡到精确值分割区间的点数越多,即越大,且每个小区间的长度越短,即分割越细,阶梯形的面

4、积,即和数与曲边梯形面积的误差越小.现将区间无限地细分下去,并使每个小区间的长度都趋于零,这时,和数的极限就是原曲边梯形面积的精确值.动态描述阶梯形面积与曲边梯形面积的无限接近过程案例如何求曲边梯形的面积?面积(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.经以下四步:案例如何求曲边梯形的面积?(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.经以下四步:案例如何求曲边梯形的面积?(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.经以下四步:A案例如何求曲边梯形的面积?(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.经以下四步:

5、A案例如何求曲边梯形的面积?(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.经以下四步:A案例如何求曲边梯形的面积?(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.经以下四步:A案例如何求曲边梯形的面积?(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.经以下四步:案例求得曲边梯形的面积:(1)分割;(2)近似代替;(3)求和;(4)取极限.经定义4.1定积分定义用分点设函数在闭区间上有定义,把区间分成个小区间其长度并记在每一个小区间()上任选一点,作乘积的和式当时,若上述和式的极限存在,且这极限与区间的分法无关,与点的取法无关,则

6、称函数在上是可积的,并称此极限值为函数在上的定积分,记作即积分上限积分下限被积表达式被积函数积分变量积分号称为积分区间.由定积分定义还可知,案例中:曲边梯形面积是曲边方程在区间上的定积分,即由定积分定义知：由定积分定义知：积分上限1.定积分是一个数值,该数值取决于被积函数和积分区间,与积分变量无关,即积分下限注意2.交换定积分的上下限,定积分变号,即特别地,有二.定积分的几何意义特别地,在区间上,若则由定积分的定义知面积在区间上,若则图中阴影部分的面积为若有正有负,在区间上,练习1用几何图形说明下列等式成立:(1)(1)由定积分的几何意义,该面积就

7、是作为曲边的函数在区间上的定积分,即上半单位圆的面积为解练习1用几何图形说明下列等式成立:(2)解(2)由定积分的几何意义,该面积就是作为直线的函数在区间上的定积分,即该三角形的面积为三.定积分的性质性质1常数因子可提到积分符号前性质2代数和的积分等于积分的代数和练习2解计算定积分由上述定积分的性质及练习1,有由性质2由性质1由练习1(1)(2)性质3(定积分对积分区间的可加性)对任意三个数总有(1)当时,由定积分的几何意义可知曲边梯形的面积=曲边梯形的面积+曲边梯形的面积.即性质3(定积分对积分区间的可加性)对任意三个数总有(2)当时,由前一种情

8、形,应有移项,有交换上下限,有其他情形可类似推出.练习3用几何图形说明下列等式成立:解(1)(1)由定积分对区间的可加性知