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1、一、罗尔(Rolle)定理例如,几何解释:证注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,又例如,例1证由介值定理即为方程的小于1的正实根.矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理几何解释:证分析:弦AB方程为作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值定理又称有限增量定理.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.微分中值定理推论例2证例3证由上式得三、柯西(Cauchy)中值定理几何解释:证作辅助函数例4证分析:结论可变形为四、小结Rol
2、le定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.思考题试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.思考题解答不满足在闭区间上连续的条件；且不满足在开区间内可微的条件；以上两个都可说明问题.练习题练习题答案定义例如,定理定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.证定义辅助函数则有例1解例2解例3解例4解例5解注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好.
3、例6解例7解关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.步骤:例8解步骤:步骤:例9解例10解例11解例12解极限不存在洛必达法则失效。注意：洛必达法则的使用条件．三、小结洛必达法则思考题思考题解答不一定．例显然极限不存在．但极限存在．练习题练习题答案一、单调性的判别法定理证应用拉氏定理,得例1解注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．二、单调区间求法问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．定义:若函数在其定义域的某个区间内是单
4、调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:例2解单调区间为例3解单调区间为例4证注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,三、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.思考题思考题解答不能断定.例但当时，当时，注意可以任意大，故在点的任何邻域内，都不单调递增．练习题练习题答案一、函数极值的定义定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.二、函
5、数极值的求法定理1(必要条件)定义注意:例如,定理2(第一充分条件)(是极值点情形)求极值的步骤:(不是极值点情形)例1解列表讨论极大值极小值图形如下定理3(第二充分条件)证例2解图形如下注意:例3解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.三、小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)思考题下命题正确吗？思考题解答不正确．例在–1和1之间振荡故命题不成立．练习题练习题答案一、最值的求法步骤:1.求驻点和不
6、可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)二、应用举例例1解计算比较得点击图片任意处播放暂停例2敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟．问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？解(1)建立敌我相距函数关系敌我相距函数得唯一驻点实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数;(2)求最值;例3某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月1
7、80元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？解设房租为每月元，租出去的房子有套，每月总收入为（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高。最大收入为点击图片任意处播放暂停例4解如图,解得三、小结注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤.思考题思考题解答结论不成立.因为最值点不一定是内点.例在有最小值，但练习题练习题答案一、曲线凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上
8、任意弧段位于所张弦的下方定义二、曲线凹凸的判定定理1例1解注意到,三、曲线的拐点及其求法1.定义注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2.拐点的求法证方法1:例2解凹的凸的凹的拐
