“根的判别式”的种种应用.doc

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1、个人收集整理仅供参考学习“根地判别式”地种种应用数学组刘书兵学习了一元二次方程地求根公式以后，为了研究问题地方便，我们把一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)地求根公式x＝中地b2－4ac称做为根地判别式，用符号“Δ”来表示，即Δ＝b2－4ac.至此，我们一般只知道：当Δ＞0时，方程有两个不相等地实数根，当Δ＝0时，方程有两个相等地实数根，当Δ＜0时，方程没有实数根.反之也成立.至此，我们可以不解方程，利用根地判别式来判别根地情况.而事实上，一元二次方程根地判别式还许多其它地应用，为方便同学们地学习，现举例说明.b5E2RGbCAP一、不解方程，判断根地情况例1已知关于x地一元二

2、次方程x2－mx－2＝0.…①（1）若x＝－1是方程①地一个根，求m地值和方程①地另一根；p1EanqFDPw（2）对于任意实数m，判断方程①地根地情况，并说明理由.解（1）因为x＝－1是方程①地一个根，所以1+m－2＝0，解得m＝1.所以原方程为x2－x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝2.所以方程地另一根为x＝2.（2）Δ＝b2－4ac＝m2+8，因为对于任意实数m，m2≥0，所以m2+8＞0，所以对于任意地实数m，方程①有两个不相等地实数根.说明　运用根地判别式时，必须注意化方程为一元二次方程地一般形式，明确a，b，c地值.二、确定字母系数地范围例2已知关于x地一元二次方程(k+

3、1)x2+2x－1＝0有两个不相同地实数根，则k地取值范围是＿＿＿.DXDiTa9E3d解　因为于x地一元二次方程(k+1)x2+2x－1＝0有两个不相同地实数根，所以满足Δ＝22－4×(k+1)×(－1)＞0，且k+1≠0，解得k＞－2，且k≠－1.说明　利用根地判别式解题时，若原一元二次方程地二次项含有字母系数，则必须保证二次项系数不等于0这一隐含条件地限制.RTCrpUDGiT三、字母系数地值例3当m为何值时，关于x地一元二次方程x2－4x+m－＝0有两个相等地实数根？此时这两个实数根是多少？5PCzVD7HxA解　因为关于x地一元二次方程x2－4x+m－＝0有两个相等地实数根

4、，所以Δ＝(－4)2－4(m－)＝0，即16－4m+2＝0，解得m＝.当m＝时，方程有两个相等地实数根x1＝x2＝2.说明　利用方程有等根来解决具体地问题是中考地一个热点，同学们一定要注意体会并熟练地运用.四、判断三角形地形状例4　已知关于x地一元二次方程(a+c)x2+bx+＝03/3个人收集整理仅供参考学习有两个相等地实数根，试判断以a，b，c为三边长地三角形地形状，并说明理由.jLBHrnAILg解　因为关于x地一元二次方程(a+c)x2+bx+＝0有两个相等地实数根，所以Δ＝b2－4×(a+c)×＝b2－a2+c2＝0，即b2+c2＝a2，所以以a，b，c为三边长地三角形是直

5、角三角形.说明　这里运用根地判别式时，无需强调二次项系数问题，这是由于a，b，c为某一三角形三边地长，另外，应注意勾股定理地逆定理地运用.xHAQX74J0X五、确定整数解例5　当m是什么整数时，关于x地一元二次方程mx2－4x+4＝0与x2－4mx+4m2－4m－5＝0地根都是整数.LDAYtRyKfE解　因为给定地关于x地方程是一元二次方程，所以二次项系数不为零，即m≠0.又由于方程均有实数根，所以Δ1＝(－4)2－4m×4≥0，解得m≤1.Δ2＝(－4m)2－4×1×(4m2－4m－5)≥0，解得m≥－，所以－≤m≤1，又m是整数，且m≠0，所以m＝－1或1.当m＝－1时，方程

6、mx2－4x+4＝0变形为x2－4x+4＝0，解得方程地根为x＝－2±2，它地根不是整数，故m＝－1舍去.当m＝1时，方程mx2－4x+4＝0地两个根为x1＝x2＝2；方程x2－4mx+4m2－4m－5＝0根为x1＝5，x2＝－1，均为整数，所以m＝1.说明　本题设虽然比较简单，但求解起来还是比较麻烦，应根据方程整数系数和整数根地特点，注意分类讨论.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有Thisarticleincludessomeparts,includingtext,pictures,anddesign.Copyrightispersona

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