根的判别式的一类应用.pdf

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1、蝈徊瓣融鸯鲴审瓣磨周江苏省高邮市川青初级中学(225623)孙辉。根的判别式是初中数学中与一元二次方．．当／-／,／2—9时，5—7"／'／<0，程有关的重要内容，它通常用于判断一元二次即平移后的直线z与y轴交于负半轴，与方程根的情况，或相应的二次函数图像与轴题意不符，故舍去．交点个数，并由此引申出根的判别式与函数图．．当一1时，直线l与反比例函数图像交点个数的关系．在近年来的中考题中，最像有且只有一个交点．后一种情况的用法频频出现，现举几例加以分评注本题通过联立解析式得到关于·析说明．的一元二次方程，因为两图像有且只有一个交一、根据两个图像交点个数。利用根的判点，所以A一0

2、，从而求得的值．别式求常数的值或取值范围(2013年例’(2013年兰州)如图2，以扇形＼F四川资阳)如图1，已知B的顶点0为原点，、直线Z与轴，_y轴交半径OB所在直线为／B于A，B两点，与双曲线轴，建立平面直角坐标图2系，点B的坐标为(2，0)．Y一旦(“≠0，>0)分L』I若抛物线一1一2+是与扇形OAB的边界总有别交于D、E两点，若点图1D坐标为(4，1)，点E两个公共点，则实数k的取值范围是．——的坐标为(1，4)．解析首先，当抛物线过点B时，把B(2，0)(1)分别求出直线l与双轴线的解析式；代入一吉+是，得志一一2，所以是的值必须(2)若将直线z向下平移(m>0

3、)个单位大于一2；然后，OA的解析式是Y—，联立解后，当为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点．析式得方程z一1十．如果抛物线向上平解析(1)易求反比例函数解析式为一移最终必须与OA有两个交点，所以方程有两，直线AB的解析式为Y一一z+5．个不相等的实数根，得△一1—2k>O，·(2)依题意可设直线z向下平移m(m>O)．．走<÷，个单位后，直线解析式为：一一z+5一肌·fY一一+5一ITi，··当一2<是<专时，抛物线与扇形边界寸由4总有两个交点．1【—，评注本题求是的取值范围，要从两方面落得z。一(5一m)x+4—0．综合考虑，一是临界点B，二是与OA的关系·罐。．。平

4、移后直线z与反比例函数图像有重点是第二方面，联立解析式，由抛物线最终”且只有一个交点，’与(须有两个／⋯,v：tt：~、-，得△>0，即得志<，豢．．△一(m～5)一16—0，‘．．l=1，m2—9．粤取釜值全范兰围点B的关系，从而就能正确求出是的‘‘．517>0．．网址：ZXSS．cbpt．cnki．net●雨●电子邮箱：zxss@chinajourna1．net．二、利用根的判别式。判断两个图像交点AB时，请直接写出点A的坐标；的个数②试证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA—AB_3(2013牟成都)若关于￡的不等成立．式组恰有s个整数u关

5、于的解析(1)依题意解得：0一次函数一1z—n的图像与反比例函数j，A(一号，音)，B(1，1)·(2)①A(一1，1)，B(一3，9)．一的图像公共点个数为②证明：过点P，BZ解析首先解关于t的不等式组得a≤t分别作过点A且平行于y／，z轴的直线的垂线，垂≤，由不等式组有3个整数解知t必须为一’一一-广～足分别为G、H，如图4．{：／／一1、0、1，故一2

6、m—a，2m+2a+2)．·．．△-+-3口+2-(a+导)1．将点B坐标代人Y—z。得：2m。一4am+口。一2a一2—0．。。一·2<口≤一1，·。·一{≤△≤0．。．‘△一16a一8(a。一2a一2)一8a+16口。+16—8(n+1)。+8>0，．．方程÷z～az一(3a+2)一0无解．．无论a为何值时，关于的方程总有或有两个相等的解，即两图像的公共点个数为两个不相等的实数根，0或1．即：对于任意给定的点P，抛物线上总能评注本题由联立得到关于z的一元二找到两个满足条件的点A．次方程，根据根的判别式得有关a的代数式，评注(2)问中的①其实为②作铺垫，为由a的范围，确定△

7、的取值范围，从而得到两具体体现．要证明②的结论，须先设出点P、点图像交点的个数．A的坐标，求得点B的坐标，再代入—z中，(2013年m得关于的方程，根据判别式大于0得有．武汉)如图3，点P是直两解，即：抛物线上总有两个A点存在．l线l：～2x2上的小结根的判别式与函数图像交点个数O＼点，过点P的另一条直．的关系是：两个函数解析式中只要有一个是二次函数或反比例函数，另一个是一次函数，联堪于A，B两点．图3立解析式就可以得到一个关于z的二次方程．这时，若△>0，则两个图像有两个不同交点；豢析萼暑枷⋯标；若A