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1、2013年全国硕士研究生入学考试数学二试题一、选择题：1-8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．（1）设，其中，则当时，是（）(A)比高阶的无穷小(B)比低阶的无穷小(C)与同阶但不等价的无穷小(D)与等价的无穷小（2）设函数由方程确定，则（）(A)(B)(C)(D)（3）设函数，，则（）(A)是函数的跳跃间断点(B)是函数的可去间断点(C)在处连续但不可导(D)在处可导（4）设函数，若反常积分收敛，则（）(A)(B)(C)(D)
2、（5）设，其中函数可微，则（）(A)(B)(C)(D)（6）设是圆域在第象限的部分，记，则（）(A)(B)(C)(D)（7）设均为n阶矩阵，若，且可逆，则（）(A)矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价(B)矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价(C)矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价(D)矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价（8）矩阵与相似的充分必要条件为（）(A)(B)为任意常数(C)(D)为任意常数二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上．（9）．（10）设函数，则的反函数在处的导数
3、．（11）设封闭曲线的极坐标方程为，则所围成平面图形的面积是．（12）曲线上对应于的点处的法线方程为．（13）已知，，是某2阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件的解．（14）设为阶非零矩阵，为的行列式，为的代数余子式，若，则．三、解答题：15~23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（15）（本题满分10分）当时，与为等价无穷小，求与的值。（16）（本题满分10分）设是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的
4、值。（17）（本题满分10分）设平面区域由直线及围成，计算（18）（本题满分10分）设奇函数在上具有二阶导数，且，证明：（Ⅰ）存在，使得；（Ⅱ）存在，使得。（19）（本题满分10分）求曲线上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。（20）（本题满分11分）设函数（I）求的最小值。（II）设数列满足，证明存在并求此极限（21）（本题满分11分）设曲线的方程，（I）求的弧长；（II）设是由曲线，直线及轴所围平面图形，求的形心的横坐标。（22）（本题满分11分）设，，当为何值时，存在矩阵，使得，并求所有矩阵。（23）（本题满
5、分10分）设二次型，记，，（Ⅰ）证明二次型对应的矩阵为；（Ⅱ）若正交且均为单位向量，证明在正交变换下的标准形为。2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线的渐近线条数()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)设函数，其中为正整数,则()(A)(B)(C)(D)(3)设，则数列有界是数列收敛的()(A)充分必要条件(B)充分非必要条件(C)必要非充分条件(D)非充分
6、也非必要(4)设则有()(A)(B)(C)(D)(5)设函数为可微函数，且对任意的都有则使不等式成立的一个充分条件是()(A)(B)(C)(D)(6)设区域由曲线围成，则()(A)(B)2(C)-2(D)-(7)设,,,,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为()(A)(B)(C)(D)(8)设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且.若，则()(A)(B)(C)(D)二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设是由方程所确定的隐函数，则.(10).(11)设其中函数可微，则.(1
7、2)微分方程满足条件的解为.(13)曲线上曲率为的点的坐标是.(14)设为3阶矩阵，，为伴随矩阵，若交换的第1行与第2行得矩阵，则.三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)已知函数，记，(I)求的值;(II)若时，与是同阶无穷小，求常数的值.(16)(本题满分10分)求函数的极值.(17)(本题满分12分)过点作曲线的切线,切点为,又与轴交于点,区域由与直线围成,求区域的面积及绕轴旋转一周所得旋转体的体积.(18)(本题满
8、分10分)计算二重积分，其中区域为曲线与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数满足方程及,(I)求的表达式;(II)求曲线的拐点.(20)(本题满分10分)证明,.(21)(本题满分10分)(I)证明方程，在区间内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为，证明存在，并求此极限.(22)(本题满分11分)设，(I)计算行列式；(II)当实数为何值时，
