2011概率统计数学建模.doc

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1、概率统计模型§1概率论模型一、概率的基本知识1、离散型随机变量的概率分布（随机变量）……概率……性质：（1）几个常见的重要分布i.两点分布（贝努里分布或0-1分布）注：两点分布的分布列就是X01Pp1-p不论题目有什么区别,只有两种可能,要么是这种结果要么是那种结果,通俗点,要么成功要么失败而二项分布的可能结果是不确定的甚至是没有尽头的,。ii.二项分布注：如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重  二项分布公式复试验中发生K次的概率是　　P(ξ=K)=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k

2、),其中C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)iii.普阿松分布（泊松分布）——排队论中常见。注：若随机变量X只取非负整数值，取k（k=0,1,2…）值的概率为　　  （2）期望与方差（3）几个常见的重要分布的期望与方差两点分布（贝努里分布或0-1分布）：，二项分布：，普阿松分布（泊松分布）：2、连续型随机变量的分布函数与概率密度分布函数：，为随机变量密度函数，满足（1）几个常见的重要分布i.均匀分布：ii．指数分布：iii．正态分布：（2）期望与方差（3）几个常见的重要分布的期望与方差均匀分布：，二项分布：，

3、普阿松分布（泊松分布）：，（4）实际问题中注意：密度函数（分布函数）的摸拟二、概率论模型实例1．报童问题一个报童每天从邮局订购一种报纸，沿街叫卖。已知每100份报纸全部卖出可获利7元。若当天卖不掉，第二天削价可全部卖出，但这时报童每100份报纸要赔4元。报童每天售出的报纸数是一个随机变量，概率分布如表，问报童每天订购多少报纸最佳？售出报纸数（百份）012345概率0.050.10.250.350.150.1解：设每天订购百份报纸，卖出报纸数为百份，则每天的收益函数为：利润的期望分别求出，，，，，的利润期望：；；；；

4、；所以订3百份报纸最佳。注：也可求损失最小的期望来决定订购计划。2．决策方案问题某土木工程采用正常速度施工，若无坏天气的影响，工程可确保在30内按期完工，但根据天气预报，15天后天气肯定变坏，有40%的可能出现阴雨天气而不影响工程，有50%的可能遇到小风暴而使工程推迟15天，另有10%的可能遇到大风暴而使工程推迟20天．对于可能的情况，考虑两种方案：(1)紧急加班，确保工程在15天内完成，实施此方案将增加工资支出18000元．(2)先维持原定的施工进度，到15天后根据实际出现的天气情况再作对策。若遇到阴雨天，则维持

5、正常进度，不必支付额外费用。若遇到小风暴，则有下述两个备选方案：(A)维持正常进度，支付工程延期损失费20000元，(B)采取应急措施，实施此措施可能有三种结果：有50%的可能减少误工期1天，支付延期损失费和应急费用24000元；有30%的可能减少误工期2天，支付延期损失费和应急费用18000元；有20%的可能减少误工期3天，支付延期损失费和应急费用12000元；若遇大风暴，则仍有两个方案可供选择：(A)维持正常进度施工，支付工程延期损失费50000元，(B)采取应急措施，实施此措施可能有三种结果：有70%的可能减

6、少误工期2天，支付延期损失费和应急费用54000元；有20%的可能减少误工期3天，支付延期损失费和应急费用46000元；有10%的可能减少误工期4天，支付延期损失费和应急费用38000元。试用决策树方法选择最佳决策方案．解：（1）画决策树（略）在黑板上画（2）计算一级机会点E、F的损失费用的期望（元）（元）（3）在一级决策点C、D上作比较，C点应急损失比抽空施工小，故C点应选择应急措施，损失19800元；同理：在D点应选择抽空施工，损失50000元。（4）计算第二级机会点B的损失费期望：（元）（5）第二级决策点A上

7、作比较，正常进度为最佳选择。最后决策为：开始以正常速度施工，15天后再据天气情况进一步：若出现阴雨天，正常进度，若出项小风暴则采取应急措施；若出现大风暴则抽空施工。3．排队论模型排队论也称随即服务系统，生活中排队论模型比比皆是，如到商场购物，轮船进港，病人就医候诊，机器等待维修等，其共同特征：（a）有请求服务的人或物，如候诊的病人，请求着陆的飞机等，简称为“顾客”。（b）有为顾客服务的人和物，如医生，飞机跑道等，简称为“服务员”。服务员和顾客构成一个服务系统。（c）顾客随机地一个一个（或一批一批）的来到服务系统，每

8、一位顾客需要服务的不一定确定，从而造成某阶段顾客排队等待，而有时服务员空闲无事。排队论主要是对服务系统建立数学模型，研究单位时间里服务系统能服务的顾客的平均数，顾客排队平均等待时间，排队顾客的平均人数等数量规律。（1）基本概念与符号服务系统由下列几部分构成：输入过程：即顾客到服务台的概率分布排队规则：即顾客排队等待规律服务机构规则：（2）几个常用的数量指标及