《概率统计建模法》PPT课件

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1、概率统计建模法1报童的秘诀2自动化车床管理报童的秘诀报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有买掉的报纸退回试为报童设计一个购进报纸数量。概率建模法分析：众所周知，应该根据需求量确定购进量，需求量是随机的，这需要调查，假定报童已经通过自己的经验或其他的渠道掌握了需求量的随机规律为f(r)，因需求量是随机的所以，收入也是随机的，因此，不能以报童每天的收入为目标，而应以他一段时期（比如一年）的日平均收入为目标。假设：1：设每份报纸的进价为b2：退回价为c3：零售价为a4：每天购进量为n份5：每天报纸的需求量为r的概率为f(r),r=1.2.3……

2、6：记报童每天购进n份报纸时的平均收入为G（n）如果需求量r《n，则他售出r份，退回n-r份如果需求量r》n，则他售出n份。又有需求量为r的概率为f(r)问题归结为在a,b,c,f(r)已知时，求n使G（n）最大。通常需求量r和购进量n都相当大，将r视为连续性的变量更便于分析和计算，这时概率[分布率]f(r)转化为密度函数p(r).(1)1式变为：利用高等数学的方法。计算令使报童日平均收入达到最大的购进量n应该满足（3）式，3又因：所以（3）式可以化为根据需求量的概率密度函数p(r).的图形很容易从（3）式确定购进量n，在图中用A，B中分别表

3、示曲线p(r).下的两块面积，则（3）式可记作：nAB5因为当购进份报纸n时，是需求量r不超过n的概率。即卖不完的概率是需求量r超过n的概率。即卖完的概率所以购进的份数n应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱a-b与退回一份赔的钱b-c之比。显然：但报童与报社签定的合同使报童每份赚钱与赔钱之比。越大时，报童购进的份数救应该越多。推广：一般地，报纸每天的需求量的规律（分布律）未知，需要经过调查和统计得出以及日常得一些事件的影响，对该问题的影响。自动化车床管理引例零件的预防性更换问题：1999赛题可靠度和失效率用随机变量X表示零件的

4、寿命，其分布函数表示零件寿命不超过的概率（及在时刻t之前失效）X的概率密度记为f(t)，寿命大于的概率记为R(t)，及R(t)=P(X>t)=1-F(t)称为零件的可靠度，显然有R(0)=1,R(无穷)=01--20平均寿命即X的期望为（设积分收敛）1--21典型的失效率函数形状如图：TR（T）它是一个条件概率，当1--22预防性更换策略这是一个随机性优化模型，目标函数取为单位时间的平均损失，零件每更换一次称为一个周期，周期的平均长度为1--231--24化简为*式有解的条件是：1--25二：设备检查方案1:设备故障时刻的概率分布函数为F(t

5、)，概率密度为f(t)，设备使用期限为T，于是F(T)=12:设备带故障运行到检查时为止的损失与这段时间呈正比，比例系数即为单位时间损失费1--263相邻两次检查之间出现故障的时刻可认为是均匀分布，而带故障运行的时间则取这个分布的均值。4：每次检查费用为c2，到时刻t为止的检查次数可表示为设备在运行一次中总费用的期望值为1--27它是一个泛函极值问题自动化车床管理模型假设1--28目标函数应为每个零件的平均费用组意到每个零件才检查一次，再某一检查点发现不合格品，一般说来，不止一个详细如下：1--29In次检查（I+1）n次检查0。。。。。10

6、0。。。。11000。。。111。。。011111111111所以m=(n+1)/21--30C的计算，首先根据所给数据算出刀具的平均故障间隔a=600,非刀具故障间隔为b=11400当进行预防性更换时，平均间隔为1--31第二问：主要注意两种误判1：工序正常，检查到不合格品误判停机2：工序故障，检查到合格品继续生产到下一次检查，使不合格品数增大在这两种误判下两次检查间生产的不合格品的平均数为W=40%1--32以下解法略,具体参考4381--33前面建立的模型都用了考察对象在系统中的均匀分布假设。这种方法建模被称为集中参数法。考虑个体差异（

7、或分布差异）的建模方法被称为分布参数法。分布参数法用于连续变量的问题时，得到的通常都是偏微分方程，无论建模还是求解都比较困难。仅举两个简单例子，来说明这种方法的应用。最小二乘法设经实际测量已得到n组数据（xi,yi），i=1,…,n。将数据画在平面直角坐标系中，见图。如果建模者判断这n个点很象是分布在某条直线附近，令该直线方程为y=ax+b，进而利用数据来求参数a和b。由于该直线只是数据近似满足的关系式，故yi-(axi+b)=0一般不成立，但我们希望最小此式对a和b的偏导数均为0，解相应方程组，求得：y=ax+byO(xi,yi)x其中和分

8、别为xi和yi的平均值如果建模者判断变量间的关系并非线性关系而是其他类型的函数，则可作变量替换使之转化为线性关系或用类似方法拟合。显然，运动员体重越大，他能举起的重