2020届高考数学大二轮复习层级二专题一函数与导数第2讲基本初等函数、函数与方程教学案.docx

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1、第2讲　基本初等函数、函数与方程[考情考向·高考导航]1．掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质．2．以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理．3．能利用函数解决简单的实际问题．[真题体验]1．(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.解析：∵f(x)＝log2(x2＋a)．且f(3)＝1，∴f(3)＝log2(9＋a)＝1，∴9＋a＝2，∴a＝－7.答案：－72．(全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)

2、有唯一零点，则a＝(　　)A．－　　　　　　　　B.C.D．1解析：C　[x2－2x＝－a(ex－1＋e－x＋1)，设g(x)＝ex－1＋e－x＋1，g′(x)＝ex－1－e－x＋1＝ex－1－＝，当g′(x)＝0时，x＝1，当x＜1时，g′(x)＜0函数单调递减，当x＞1时，g′(x)＞0，函数单调递增，当x＝1时，函数取得最小值g(1)＝2，设h(x)＝x2－2x，当x＝1时，函数取得最小值－1，若－a＞0，函数h(x)，和ag(x)没有交点，当－a＜0时，－ag(1)＝h(1)时，此时函数h(x)和ag(x)有一个交点，即－a×

3、2＝－1⇒a＝，故选C.]3．(2019·全国Ⅰ卷)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．b＜c＜a解析：B　[∵a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1，0＜c＝0.20.3＜0.20＝1，∴b＞c＞a.选B.]4．(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)A．[－1,0)B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)解析：C　[令g(x)＝f(x)＋x＋a＝0，则

4、f(x)＝－x－a，要使g(x)存在2个零点，则需y＝f(x)与y＝－x－a有两个交点，画出函数f(x)和y＝－x－a的图象如图所示，则需－a≤1，∴a≥－1.][主干整合]1．指数式与对数式的七个运算公式(1)am·an＝am＋n；(2)(am)n＝amn；(3)loga(MN)＝logaM＋logaN；(4)loga＝logaM－logaN；(5)logaMn＝nlogaM；(6)alogaN＝N；(7)logaN＝(注：a，b＞0且a，b≠1，M＞0，N＞0)．2．指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)

5、与对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图象和性质，分0＜a＜1，a＞1两种情况，当a＞1时，两函数在定义域内都为增函数，当0＜a＜1时，两函数在定义域内都为减函数．3．函数的零点问题(1)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解．4．应用函数模型解决实际问题的一般程序⇒⇒⇒.热点一　基本初等函数的图象与性质[例1]　(1)(2019·

6、济南三模)若函数y＝a

7、x

8、(a＞0，且a≠1)的值域为{y

9、y≥1}，则函数y＝loga

10、x

11、的图象大致是(　　)[解析]　B　[由于y＝a

12、x

13、的值域为{y

14、y≥1}，∴a＞1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga

15、x

16、的图象关于y轴对称．因此y＝loga

17、x

18、的图象应大致为选项B.](2)(2019·郑州三模)已知a(a＋1)≠0，若函数f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上为减函数，且函数g(x)＝在R上有最大值，则a的取值范围为(　　)A.　　　　　B.C.D.∪[解析]　A　[∵f(x)＝

19、log2(ax－1)在(－3，－2)上为减函数，∴∴a≤－，∵a(a＋1)≠0，∴

20、a

21、∈∪(1，＋∞)．当x≤时，g(x)＝4x∈(0,2]，又g(x)＝在R上有最大值，则当x＞时，log

22、a

23、x≤2，且

24、a

25、∈，∴log

26、a

27、≤2，∴

28、a

29、2≤，则

30、a

31、≤，又a≤－，∴－≤a≤－.](3)(2019·天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　)A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b[解析]　A　[利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待

32、．a＝log52＜log5＜，b＝log0.50.2＞log0.50.25＝2，0．51＜0.50.2＜0.50，故＜c＜1，所以a＜c＜b.故选A.]基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都