2003年全国初中数学竞赛试题参考答案.doc

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1、2003年全国初中数学竞赛试题一、选择题1、若4x-3y-6z=0.x+2y-7z=0(xyz≠0)，则代数式的值等于()．（A）-（B）-（C）-15（D）-132．在本埠投寄平信，每封质量不超过20g时付邮费0．80元，超过20g而不超过40g时付邮费l．60元，依次类推，每增加20g需增加邮费0．80元(信的质量在100g以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5g，那么他应付邮费()．(A)2.4元(B)2.8元(C)3元(D)3.2元3.如图所示，()．(A)3600(B)4500(C)5400(D)72004.四条线段的

2、长分别为9，5，x，1(其中x为正实数)，用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段(如图)，则x可取值的个数为()．(A)2个(B)3个(C)4个(D)6个5.某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵(排数≥3)，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能最后一排的人均站在前一排两人间的空档处，那么，满足上述要求的排法的方案有()．(A)1种(B)2种(C)4种(D)O种二、填空题6．已知那么.7．若实数x，y，z满足则xyz的值为.8．观察下列图形：根据

3、图①、②、③的规律，图④中三角形的个数应为。9．如图所示，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成450，则∠A＝600，CD＝4m,BC=(4)m电线杆AB的长为m.10．已知二次函数y=ax2+bx+c(其中a是正整数)的图像经过点A(一1，4)与点B(2，1)，并且与x轴有两个不同的交点，则b+c的最大值为．三，解答题.11．如图所示，已知AB是⊙0的直径，BC是⊙0的切线，0C平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC，与DE交于点P．问EP与PD是否相等?证明你的结论．

4、12．某人租用一辆汽车由A城前往B城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位：小时)如图所示．若汽车行驶的平均速度为80千米／小时，而汽车每行驶l千米需要的平均费用为1．2元．试指出此人从A城出发到8城的最短路线(要有推理过程)，并求出所需费用最少为多少元?A卷13．如图所示，⊙0的直径的长是关于x的二次方程(k是整数)的最大整数根，P是⊙0外一点，过点P作⊙0的切线PA和割线PBC，其中A为切点。点B，C是直线PBC与⊙0的交点，若PA，PB，PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA2+PB2+PC2的值．14

5、．如图，沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式(a-d)(b一c)>0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作。(1)若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有(a—d)(b一c)≤0?请说明理由．(2)若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数l,2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b,c,d，都有(a-d)(b-c)≤o?请说明B卷13．如图所示，在△ABC中，∠ACB=

6、900,(1)当点D在斜边AB内部时，求证：(2)当点D与点A重合时，第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由．(3)当点D在BA的延长线上时，第(1)小题中的等式是否存在?请说明理由．14．已知实数a，b，c满足：以a+b+c=2，abc=4．(1)求a,b,c中的最大者的最小值；(2)求的最小值.2003年“TRULY®信利杯”全国初中数学竞赛试题参考答案与评分标准一、选择题（每小题6分，满分30分）1．D由解得代入即得.2．D因为20×3<72.5<20×4，所以根据题意，可知需付邮费0.8×4=3.2（元）.3．C如图所示，

7、∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°，∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°，而∠BMN+∠FNM=∠D＋180°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.4．D显然AB是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x。（1）若AB=9，当CD=x时，，；当CD=5时，，；当CD=1时，，.（2）若AB=x，当CD=9时，，；当CD=5时，，；当CD=1时，，.故x可取值的个数为6个.5．B设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k，k+1，k+2，…，k+（n－1），由题意可知，即.因为k，n都是正整数，且

8、n≥3，所以n<2k+（n－1），且n与2k+（n－1）的奇偶性不同.将200分解质因数，可知n=5或n=8.当n=5时，k=18；当n=8时，k=9.共有两种不同方案.6．.＝。7．1.因为，所以　，解得　.从而　，.于是　.8．1