第七章-窄带随机过程.ppt

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1、2021/8/4第七章窄带随机过程徐聪目录窄带随机过程的一般概念与预备知识希尔伯特变换窄带随机过程的性质窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布窄带随机过程的一般概念与预备知识Page3一个平稳随机过程，若它的功率谱密度在频率轴的某个区域之外为零，或者说，它的功率谱带宽为有限值，那么，便称它为限带随机过程，简称限带过程。在限带过程中，根据其功率谱分布区域的不同，分为低通过程和带通过程。若平稳随机过程X(t)其功率谱密度具有以下特点则称X(t)为低通过程。窄带随机过程的一般概念与预备知识

2、Page4若X(t)的功率谱密度满足则称X(t)为带通过程。窄带随机过程的一般概念与预备知识Page5若在上式中，则称X(t)为高频窄带随机过程，简称窄带随机过程。窄带随机过程的一般概念与预备知识Page6一、正弦型信号的复数表示方法简单的正弦型信号可以表示为很明显，s(t)是t的实值函数，称s(t)为实信号。窄带随机过程的一般概念与预备知识Page7对于式的正弦信号来说，一种最常用的复数表示形式是复指数函数。定义复指数函数为或式中称之为复包络。比较以上两式可得，窄带随机过程的一般概念与预备知识Page8将复指数函数展

3、开，可得式中，s(t)是原来的实信号，是另一个实信号。窄带随机过程的一般概念与预备知识Page9设s(t)是任意实信号，具有频谱，根据前面的讨论，任何实信号都具有双边带的频谱。为了简化分析，我们想寻找一种复信号，它同时满足式中，是该复信号的频谱。二、任意信号的复数表示方法窄带随机过程的一般概念与预备知识Page10利用令则窄带随机过程的一般概念与预备知识Page11现在假定我们已经找到一个复信号，它的频谱满足又从而窄带随机过程的一般概念与预备知识Page12解析信号进一步得出上式给出了解析信号的虚部和它的实部（即原来的

4、实信号）s(t)之间的关系式，把它称为希尔伯特（Hilbert）变换，记作窄带随机过程的一般概念与预备知识Page13归纳以上的讨论，可以得出几点结论：（1）对应于任何实信号s(t)，都可以找到一个同时两个条件的复信号。（2）可将此复信号表示成解析表达式其虚部是s(t)的希尔伯特变换，即（3）式给出的是一种非常重要的复信号的表示形式。通常把它称为s(t)的解析信号或s(t)的预包络。窄带随机过程的一般概念与预备知识Page14三、高频窄带信号的复数表示方法所谓高频窄带信号（或简称窄带信号）是指信号的频谱限制在载波频率附

5、近的一个频率范围内，而且此频带范围远小于载波频率。常将窄带信号表示为展开可以得到其中由于、都是低频限带信号。可见，和也都是低频限带信号，且与彼此正交。窄带随机过程的一般概念与预备知识Page151.窄带信号的复解析表示若s(t)为窄带信号，其振幅频谱如下图所示，定义窄带信号的解析信号为式中，。从而的振幅频谱如下页图所示。窄带信号频谱举例窄带随机过程的一般概念与预备知识Page16解析信号的振幅频谱窄带随机过程的一般概念与预备知识Page172.窄带信号的复指数表示定义s(t)的复指数函数为式中通常，将称为的复包络；将称

6、为复载频。可见，复包络也是低频限带信号。即，复指数函数的实部就是窄带信号s(t)。窄带随机过程的一般概念与预备知识Page18下面再来求的频谱。对下式两端作傅里叶变换，并利用傅里叶变换的相乘性质及可得可见，具有单边带频谱。窄带随机过程的一般概念与预备知识Page19下面我们再来求复指数函数的频谱与原来实信号s(t)的频谱之间的关系:或上式说明，用复指数信号表示实窄带信号s(t)时，虽然它的实部仍为原来的实信号s(t)，但是，它的频谱不满足即。这是复指数信号与解析信号的差别。窄带随机过程的一般概念与预备知识Page20下

7、图画出了窄带信号条件下，、和之间的关系。希尔伯特变换Page21定义：在区间内给定实值函数x(t)，它的希尔伯特变换记作（或者记作）用代入上式，进行变量置换，可得到上式的等效形式为希尔伯特变换Page22下面给出希尔伯特变换的两个重要性质：（1）希尔伯特变换相当于一个正交滤波器。希尔伯特变换等效为90°移相的线性滤波器希尔伯特变换Page23推广：若　　是低频带限的平稳信号（功率谱的最高非零频率限制在　以下），则有：并且有：H[奇函数]=偶函数，H[偶函数]=奇函数希尔伯特变换Page24（2）希尔伯特逆变换为希尔伯特

8、变换希尔伯特变换的性质（1）两次变换等于反相希尔伯特变换希尔伯特变换Page27（4）对于平稳随机信号，它的希尔伯特变换也是平稳的，并且有：证明：希尔伯特变换希尔伯特变换Page29（5）希尔伯特变换是正交变换。当输入是平稳信号时，有：这表明：与功率相等且彼此正交。证明：由性质（3）可得：因为是偶函数，所以是奇函数，即希尔伯特变换