1n阶行列式.ppt

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1、第一节　逆序数与对换第二节　行列式的定义第六节　拉普拉斯定理第三节　行列式的性质第四节　行列式的计算第五节　克莱姆法则第一章n阶行列式§1逆序数与对换定义1由1，2，……,n组成的一个有序数组称为一个n级全排列（简称排列）。定义2在一个排列中，如果两个数(称为数对)的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称这两个数构成一个逆序(反序)。一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。排列j1,j2,…,jn的逆序数，一般记为(j1,j2，…，jn)上一页下一页返回定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。例计算以下各排

2、列的逆序数，并指出它们的奇偶性.(1)42531，（2）135…（2n-1）246…(2n).解（1）对于所给排列，4排在首位，逆序个数为0；2的前面有一个比它大的数，逆序个数为1；5的前面有0个比它大的数，逆序个数为0；3的前面有两个比它大的数，逆序个数为2；1的前面有四个比它大的数，逆序个数为4.把这些数加起来，即0+1+0+2+4=7故排列42531的逆序个数为7，即τ(42531)=7，因而是奇排.返回上一页下一页(2)同理可得：τ[135…(2n-1)246…(2n)]=0+(n-1)+(n-2)+…+2+1=所给排列当n=4k或4k+1时为偶

3、排列，当n=4k+2或4k+3时为奇排列.排列12的逆序数为0.排列215479683的逆序数为11.排列135…(2n-1)(2n)(2n-2)…42的逆序数是n(n-1).排列231的逆序数为2.练习返回上一页下一页定义4一个排列中，将某两个数对调，其余的数不动，这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对换，叫做相邻对换（邻换）。定理1一个排列中的任意两数对换，排列改变奇偶性。我们把排列231中的3与1对换，得到排列213，这两个排列的奇偶性是相反的，事实上对一般的排列也是如此。设排列为证先证相邻对换的情形.对换与排列变为显然这些数的逆序数经过对换并不改变

4、，仅与两数的逆序数改变：当时，经对换后，是逆序，新排列的逆序数增加1；新排列的逆序数减少1；当时，不是逆序，的逆序数相差1，奇偶性改变.所以排列与排列返回上一页下一页下证一般对换的情形.设排列为对换与，先把往后连续作m次相邻对换，排列变为再把往前连续作m+1次相邻对换，排列变为它是经过2m+1次相邻对换而成，从而实现了与的对换，所以两个排列的奇偶性相反.排列也就改变了2m+1次奇偶性，定义5设有n2个数aij（i，j＝1，2，…,n），排成正方阵形式在不同行、不同列中取n个数作乘积，并乘以符号（其中J为列标排列j1,j2,…,jn的逆序数），记为，这样的

5、乘积有项。返回上一页下一页§2行列式的定义它们的和，称为n阶行列式。记Dn＝为行列式第i行第j列的元素称为n阶行列式的展开式或行列式的值。返回上一页下一页说明：1)等式右边的每一项都是n个元素的乘积，这n个元素均位于不同的行和不同的列。2)各项的正负号与列标排列有关，偶排列为正，奇排列为负。3)因为1,2,…n的排列有n!个，故等式右边共有n!项。返回上一页下一页例计算4阶行列式解：根据定义，D是4！＝24项的代数和，但每一个乘积项中，只要有一个元素为0，乘积就等于0，所以只需计算展开式中不明显为0的项。行列式展开式中不为0的项只可能是a11a22a33

6、a44，而列标排列1234的逆序数为0，即此项符号为正，因此行列式D＝a11a22a33a44.返回上一页下一页注：可扩充到n阶的情形。例：n阶行列式Dn＝Dn＝返回上一页下一页例证明上面的行列式中，未写出的元素都是0。证:因为行列式的值为而排列j1j2…jn只能是n(n－1)…21的排列，故逆序数返回上一页下一页所以行列式的值为返回上一页下一页例设证明D=D1D2.返回上一页下一页证记其中dij=aij(i,j=1,2,…，k)；dk+I,k+j=bij(i,j=1,2,…，n)；dk+i,j=cij(i=1,2,…，n;j=1,2,…，k).di,k

7、+j=0　(i=1,2,…，k;j=1,2,…，n).返回上一页下一页R是排列的逆序数，可见均不可大于k值，否则该项为0，故只能在1，2，…，k中选取，从而只能在k+1,k+2,…,k+n中选取，考察D的一般项(i=1,2,…，k;j=1，2，…，n)，由于于是D中不为0的项可以记作这里R也就是排列的逆序数，以P，Q分别表示排列与的逆序数，则有R=P+Q，于是主对角线以上的元素全为零（即ij时元素ai

8、j＝0）的行列式称为上三角行列式，它等于主对角线上各元素的乘积。行列式中，除对角