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1、上课手机关了吗？7/25/20211第二章矩阵复习矩阵的初等行、列变换；矩阵等价；初等矩阵定理1有限次初等变换A=(aij)m×n(A≌标准形D)初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵定理2对A作初等行(列)变换,相当于用相应的初等矩阵左(右)乘A.推论对任一矩阵A,存在可逆阵P,Q,使PAQ=A≌B可逆阵P,Q,使PAQ＝B.定理3n阶可逆矩阵A的等价标准形D=En定理4A可逆A可表示为一些初等矩阵的乘积(AE)(EA-1)行变换AE列变换EA-1(AB)(EA-1B)行变换AB列变换EBA-1若用一系列初等行变换将A化
2、为单位矩阵E,则对E施以同样的行变换即得A-1A-1=P1P2…PkEE=P1P2…PkA若用一系列初等行变换将A化为单位矩阵E,则对B施以同样的行变换即得A-1BA-1B=P1P2…PkBE=P1P2…PkAA-1＝P1P2…Pk7/25/20213第二章矩阵任选Am×n的k行k列所得k阶行列式(k≤min(m,n))例有二阶子式三阶子式若矩阵A中至少有一个r阶子式不为零,而所有的r＋1阶子式皆为零,则称r为矩阵A的秩,记为r(A)＝r.即：矩阵A的秩等于A中不为零的子式的最高阶数.2.6矩阵的秩一、矩阵秩的定
3、义1.k阶子式:2.矩阵的秩(1)定义所有高于r＋1阶的子式必为零!上例：r(A)＝24第二章矩阵①0≤r(Am×n)≤min{m,n}②r(A)=r(AT)，r(kA)=r(A)(k≠0)(2)性质：③A存在r阶子式不为0r(A)≥rA的所有r+1阶子式都为0r(A)≤r④An×n可逆r(A)＝n二、用初等变换定理矩阵经过初等变换，其秩不变.r(A)=m,称A为行满秩矩阵;规定：r(O)＝0r(A)=n,称A为列满秩矩阵.统称为满秩矩阵求矩阵的秩(证明:P66)——用定义，繁!7/25/20215第二章矩阵行变
4、换列变换等价标准形，则r(A)＝初等行变换行阶梯形,则r(A)=行阶梯形矩阵非零行的行数rr行行阶梯形矩阵：自上而下各行中，第一个非零元左边零的个数逐行增加；零行在最下面.例:简化行阶梯形矩阵：行阶梯形矩阵，非零行的第一个非零元均为1，其所在列的其它元素均为0.110007/25/20216第二章矩阵例1求下列矩阵的秩解∴r(A)＝3(1)(2)∴r(B)＝2(2)(1)7/25/20217第二章矩阵例2(01考研)设矩阵,且秩(A)＝3,－3则k＝＝(k＋3)(k－1)3＝0∵k＝1时，r(A)＝1∴k＝－3解
5、7/25/20218第二章矩阵(2)A可逆r(AB)=r(B)；B可逆r(AB)=r(A)证：设A可逆，则即对B作s次初等行变换可得AB∴r(AB)＝r(B)三、几个常见结论(1)0≤r(Am×n)≤min{m,n}(3)①r(A)＋r(B)－n≤r(Am×nBn×s)≤min{r(A),r(B)}A=P1P2…Ps(Pi为初等矩阵)∴AB=P1P2…PsBAm×nBn×s＝Or(A)＋r(B)≤n(证明见P68)(4)r(A＋B)≤r(A)＋r(B)(5)联合用于证明一些有关矩阵秩的等式②9例3设A为n阶幂等矩
6、阵(A2＝A)，证明：证：由A2＝A得∴r(A)＋r(E－A)≤n又r(A)＋r(E－A)≥r(A＋E－A)＝r(E)＝n∴r(A)＋r(E－A)＝nr(A)＋r(E－A)＝nA(E－A)＝O7/25/202110第二章矩阵设A为n(n≥2)阶方阵,则证:1)r(A)＝n时，，A可逆，且可逆2)r(A)=n－1时,A不可逆,而r(A)=n－1,另一方面,r(A)=n－1∴A存在n－1阶子式不为0综上,有3)r(A)7、3.1”7/25/202112第二章矩阵下课7/25/202113第二章矩阵
