§2.6 矩阵的秩.ppt

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1、§2.6矩阵的秩2.6.1矩阵的秩的概念2.6.2用初等变换求矩阵的秩定义2.6.1在m×n矩阵A中,任取k行k列,(1≤k≤min{m,n}),位于这些行、列交叉处的k2个元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式,称为矩阵A的一个k阶子式.定义2.6.2如果矩阵A中有一个r阶子式Dr≠0，而所有的r+1阶子式(如果存在的话)都等于0,则称Dr为矩阵A的一个最高阶非零子式,其阶数r称为矩阵A的秩，记作R(A).，，2.6.1矩阵的秩概念求秩例零矩阵的秩规定为0.易得(1)R(Am×n)≤min{m,n};(2)R(AT)=R(A).例2.6.1求矩阵A

2、、B的秩解在A中，有二阶子式而三阶子式只有一个，即比较两矩阵所以,R(A)=.在B中，有二阶子式有三阶子式所有四阶子式都为,R(B)=.203分析:行阶梯形矩阵的秩=其非零行的行数.问题:把矩阵化为行阶梯形,其秩是否改变?秩概念结束，，2.6.2用初等变换求矩阵的秩求秩的方法定理2.6.1初等变换不改变矩阵的秩.证明对矩阵A作初等变换时,如果交换A的两行(列),那么与该两行(列)有关的子行列式的值只正负号有所改变;如果用非零数k乘A的某一行(列),那么与该行(列)有关的子行列式的值必乘以k;如果A的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上,那么与该两行(列)有关的子行列式的值

3、不变;三种初等变换均不会改变子行列式的值的“零性”或“非零性”;所以初等变换不改变矩阵的秩.证毕.1.根据矩阵秩的定义.2.根据定理2.6.1.用初等变换把矩阵A化成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵的秩=其非零行的行数（定义2.6.2）.矩阵A的秩=其行阶梯形矩阵的秩（据定理2.6.1）．求矩阵的秩的方法求秩例例2.6.2设矩阵解用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵.A因此，R(A)=3.求R(A).求秩练习练习设矩阵解用初等行变换把矩阵变成行阶梯形矩阵.A因此，R(A)=2.求秩例求R(A).例1设矩阵已知R(A)=2，求λ与μ的值.A因为R(A)=2，解用初等变换把矩阵变成阶

4、梯形矩阵.求秩例例2.6.3设矩阵解用初等行变换将矩阵B化为行阶梯形矩阵B1=(A1,b),因此，R(A)=2,R(B)=3.且B=(A,b),求R(A)及R(B).性质矩阵的秩的性质⑷若可逆，则⑸⑹⑺⑻若，则.(1)R(Am×n)≤min{m,n};(2)R(AT)=R(A).应用方程组*定理2.6.2设m×n矩阵A,则齐次方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是R(A)

5、(A)=r＜n,那么A1只含r个非零行，用反证法来证明R(A)

6、D

7、≠0.只有零解，不妨设为证用高斯消元法解齐次线性方程组Ax=0，就是对系数矩阵A作初等行变换,将其化为行最简形,还原方程组于是齐次线性方程组Ax=0与这个方程组有n-r>0个自由未知量,也有非零解.同解.把它改写成因此有非零解.故Ax=0方程组例例13元齐次线性方程组是否有非零解？解由系数矩阵-r1+r2------->-3r1+r3-r1+r4-r2+r3------->-2r2+r4r21/2------>r2+r

8、1还原方程组令x3=c,则因为R(A)=2＜3所以未知量x3是自由的,此齐次线性方程组有非零解.可知R(A)=2.§2.6小结矩阵A1对应的齐次方程组为小结1.什么是矩阵的秩2.求矩阵的秩注意：1.最高阶非零子式2.初等行变换和列变换都不改变矩阵的秩.§2.6作业§2.6结束课后习题：预　习：书面作业：思考题：§3.1n维向量§3.2向量组的线性相关性§3.3向量组线性相关性的判定P64,习题2(A),14(1),19(1),20,22