量子辅导-4力学量与算符.ppt

《量子辅导-4力学量与算符.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、量子力学辅导典型例题解析四、力学量和算符１、在量子力学中，力学量用线性厄密算符表示；其本征值为实数；其本征函数组成正交、归一、完备系，用它作为希尔伯特空间的一组基矢，构成一个表象。厄米算符的一些性质（1）两厄米算符之和仍是厄米算符；（2）当且仅当两厄米算符对易时，它们之积才是厄米算符；（3）厄米算符的平均值、本征值为实数；（4）任何状态下平均值为实数的算符为厄米算符；（5）厄米算符属于不同本征值的本征函数相互正交2、体系波函数可用任意厄密算符的本征函数展开3、力学量的平均值坐标表象动量表象4、几个具体的表示力学量的算符（1）动量算

2、符本征函数（自由粒子波函数）正交归一性箱归一化波函数本征值（2）角动量算符本征值本征函数（3）自由粒子的哈密顿算符一维三维能量本征值（4）力学量平均值随时间的变化公式（推导）若则称为守恒量，可知守恒量条件(5)算符的函数守恒量特点（注意与定态区别）1、在任何状态下守恒量的平均值不随时间改变；2、在任何状态下守恒量的概率分布不随时间改变；3、若体系有两个或两个以上的守恒量，且彼此不对易，则体系的能级简并(证明)。量子力学守恒量与经典力学守恒量的区别：1、量守并不一定取确定值，即体系的状态并不一定就是守恒量的本征态，由初始条件决定。2

3、、量子体系的各守恒量并不一定可以同时取确定值；如lx，ly，lz都守恒，但…….典型例题（一）根据定义解题（最基本方法）1、设质量为的粒子在下列势场中运动（1）求其能级和波函数；（2）粒子处于基态时的平均位置和均方差。解：（1）由势场特点知，实质为半谐振子，其波函数和能级可由谐振子得出，注意两点：一是仅取其中以原点为节点的部分解，因为波函数在原点处必须为零；二是由于粒子在半无限空间运动，注意归一化问题。由波函数在x=0处连续可知，量子数n只能取奇数值，即最终得半谐振子的能级和波函数为（2）半谐振子的基态波函数（n=1）（二）利用波

4、函数的性质解题量子态由波函数完全描述。对于给定波函数，注意观测其特性，如实数性、对称性、零点等，可以帮助我们快捷解题。1、一个粒子作三维束缚态运动，其波函数为实函数，求此状态中动量的平均值。解：令波函数为，且，对于束缚态则对于有同样结果说明：（1）力学量的平均值必定是实数，对于实数波函数而言，由于动量算符在形式上是纯虚数，其平均值必为零。2）一维束缚态中，定态波函数空间部分总可以选为实函数，因此一维束缚定态中动量平均值总为零。2、粒子作一维运动，空间波函数为求平均位置。解：波函数为偶函数，即因为是奇函数；同样是奇函数，亦如此。归纳

5、：凡是具有确定空间宇称的态，其平均位置一定为零注意积分区间（三）对易关系法1、粒子的哈密顿量为，其处于束缚定态中，证明其动量平均值为零。证明：令定态波函数的空间部分为，满足为求的平均值，首先注意和的对易关系这里运用了基本对易关系，计算动量平均值转化为计算对易子的平均值（注意的厄密性）推论：如果厄密算符可以表示为两个厄密算符和的对易子，则在或的本征态中，的平均值必为零。该推论可以用来说明许多问题。例如，在角动量的任何一个直角分量（如）的本征态下，其余两个分量的平均值均为零。可以证明，如果两个厄密算符反对易则在一个算符的本征态中，另一

6、个算符的平均值必为零。2、系统哈密顿量为，求和式的值，其中为矩阵元，是能量为的本征态，求和对一切态进行。（考研题目）解：同样，将放入后面矩阵元中得两式相加得因为所以3、一量子体系处于角动量与的共同本征态，总角动量平方值为。已知在该态中测量的值为0的几率是1/2，那么测量的值为的几率是多少？解：方法一该态对应，显然体系波函数是中的某一个，在（）表象中，对于有；；假定体系波函数分别为，则的几率为由已知条件可知，体系波函数不可能是，只能是或对于的几率对于的几率对于二者，测量的值为的几率都是1/4。方法二由于：可见在的本征态中对应，的可能

7、取值为，故其中分别为取值为的几率。由归一化条件为什么量子力学中的可观测量算符必为厄米算符（浙大05、06、07考研）证明或判断某个算符为厄米算符（考研常出）什么是可观察量？它与力学量有何区别？什么是可观察算符？它与厄米算符有何区别？物理上可观测的量应该对应什么算符？为什么？（哈工大考研）厄米算符的本征值和本征矢分别具有什么性质（哈工大考研）