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1、第3章力学量用算符表达1量子力学中的算符,表示对波函数(量子态)的一种运算.例如讨论量子力学中算符的一般性质:(a)线性算符称为线性算符，凡满足下列规则的算符,ˆA3.1算符的运算规则2量子力学中的算符并不都是线性算符(例如复共轭),但刻画可观测量的算符都是线性算符.为单位算符与两个算符相等其中,是任一波函数.注意其中和是任意两个波函数，与是两个任意常数（一般为复数）.例如就是线性算符.3(b)算符之和对于任意波函数,有显然,算符的求和满足交换律和结合律:所以,两个线性算符之和仍为线性算符.4(c)算符之积算符与之积,
2、记为,定义为任意.一般说来,算符之积不满足交换律,即这是算符与通常数的运算规则的唯一不同之处!5由下列关系式:概括量子力学中最基本的对易关系:6对易式(commutator)不难证明,对易式满足下列代数恒等式:定义:7则量子力学中最基本的对易关系可以化成:角动量对易式角动量算符:各分量表为8推出由代数恒等式,不难证明Levi-Civita符号是一个三阶反对称张量，定义如下：9即角动量各分量的对易式为:可以写成还可以证明:10在球坐标系中,各分量可表示成则容易证明:定义:11能够唯一地解出,则可以定义算符之逆为并非所有的
3、算符都有逆算符,例如投影算符就不存在逆.若算符之逆存在,则(d)逆算符设设与之逆均存在,则12(e)算符的函数设给定一函数,其各阶导数均存在,幂级数展开收敛则可定义算符的函数为例如可定义不难看出算符的物理意义,是与体系沿方向平移有关的算符.13两个(或多个)算符的函数也可类似定义.令则是指对体系的全部空间坐标进行积分,是坐标空间体积元.*定义一个量子体系的任意两个波函数(态)与的标积14式中与为任意常数.则可以证明:15算符的转置算符定义为(f)转置算符即式中与是任意两个波函数.16算符的复共轭算符定义为注意算符的共轭
4、算符的表达式与表象有关.例如,在坐标表象中(g)复共轭算符与厄米共轭算符通常算符的复共轭,可如下构成,即把的表达式中所有量换成其复共轭.而在动量表象中17算符之厄米共轭算符定义为推出例如:可以证明由此可得18满足下列关系的算符两个厄米算符之和仍为厄米算符,但它们的积,一般不是厄米算符,除非(可对易).(h)厄米算符称为厄米算符,也称为自共轭算符.(实)等都是厄米算符.※19定理体系的任何状态下,其厄米算符的平均值必为实数.逆定理在任何状态下平均值均为实的算符必为厄米算符.实验上可观测量,当然要求在任何态下平均值都是实数
5、,因此,相应的算符必须是厄米算符.关于厄米算符的重要定理:证明如下:在态下厄米算符的平均值为20设为厄米算符,则在任意态之下,以上是关于算符的一般规律和定则,在接下来的一节中我们将要学习一类特殊的算符-------厄米算符,及其本征值与本征函数!推论21来描述其状态的大量完全相同的体系(系综),如进行多次测量,所得结果的平均值将趋于一个确定值．而每一次测量的结果则围绕平均值有一个涨落.对于都用涨落定义为涨落3.2厄米算符的本征值与本征函数厄米算符,再利用3.1节所学知识,有因为为厄米算符,必为实数,因而仍为(1)(2)
6、22如果体系处于一种特殊的态,测量所得结果是唯一确定的,即涨落,则这种状态称为力学量的本征态.在本征态下,由式(2)可以看出,被积函数必须为零,即必须满足或23一般,把常数记为,并把本征态记为,得到称为的一个本征值,为相应的本征态.上式即算符的本征方程.注意求解时,作为力学量的本征态,还要满足物理上的一些要求.24测量力学量时所有可能出现的值,都是相应的线性厄米算符的本征值.当体系处于的本征态时,则每次测量所得结果都是完全确定的,即.量子力学中的一个基本假定:推出所以,在态下(设已归一化)定理1厄米算符的本征值必为实.
7、25厄米算符的本征函数的一个基本性质:定理2厄米算符的属于不同本征值的本征函数,彼此正交.证明如下:设并设存在,对取复共轭,得到上式右乘,积分,得到由于,上式左边=,因此得如,则必有26简并问题在能级简并的情况下,仅根据能量本征值并不能把各能量的简并态确定下来.在处理力学量本征问题时,特别是能量的本征值问题,常常出现本征态的简并,这与体系的对称性有密切关系.设力学量的本征方程表为即属于本征值的本征态有个,则称本征值为重简并.27出现简并时,简并态的选择是不唯一的,而且也不一定彼此正交,但总可以把它们适当线性叠加,使之彼
8、此正交.在线性代数中,通常采用Schmidt正交化程序来进行正交化.令因为所以只要选择,使,即可得证.证明如下28在常见问题中,当出现简并时,往往是用(除之外的)其他力学量的本征值来对简并态进行分类,从而把它的简并态确定下来.两个力学量是否可以有共同本征态?或者说是否可以同时测定?此时,正交性问题将自动解决.这就涉及两个或多个力学
