导数在研究函数中的应用2.ppt

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1、导数在研究函数中的应用3.3.1单调性(2)11)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x）为该区间上的增函数，2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x）为该区间上的减函数。一般地，设函数y＝f（x），aby=f(x)xoyy=f(x)xoyab一、复习回顾:注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数。2用导数法确定函数的单调性时的步骤是：（1）求出函数的定义域；（若定义域为R,则可省去）（2）求出函数的导函数；（3）求解不等式f′(x)>0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间；求解不等式f′(x)<0

2、，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间。注：单调区间不以“并集”出现。3例1：确定函数f(x)=sinx，的单调区间。四、数学运用:4四、综合应用:变:确定下列函数的单调区间:(1)f(x)=x/2+sinx;解:(1)函数的定义域是R,令,解得令,解得因此,f(x)的递增区间是:递减区间是:5∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)练习1已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.解：y′=(x+)′=1－1·x－2=令＞0.解得x＞1或x＜－1.∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).令＜0，解得－1＜

3、x＜0或0＜x＜1.6解:函数的定义域是(-1,+∞),2、f(x)=x/2-ln(1+x)+1由即得x<-1或x>1.注意到函数的定义域是(-1,+∞),故f(x)的递增区间是(1,+∞);由解得-1

4、abcy=f(x)试画出导函数图像的大致形状。Oabcxy9∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数.例3证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2∈(0，+∞)设x1＜x2.f(x1)－f(x2)=∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，∴＞010点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.证法二：(用导数方法证)∵f′(

5、x)=()′=(－1)·x－2=－，x＞0，∴x2＞0，∴－＜0.∴f′(x)＜0，∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数.11练习4：求证：f(x)=2x-sinx在R上为单调增函数。四、数学运用:12证明：令f(x)=e2x－1－2x.∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1)∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0,即f′(x)＞0∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数.∵f(0)=e0－1－0=0.∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0.∴1+2x＜e2x例4：当x＞0时，证

6、明不等式：1+2x＜e2x.分析：假设令f(x)=e2x－1－2x.∵f(0)=e0－1－0=0,如果能够证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以证明.点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0.13练习6：证14练习1:确定函数的单调区间.解:令注意到故f(x)的递增区间是(0,100).同理由得x>100,故f(x)的递减区间是(100,+∞).说明:(1)由于f(x)在x=0处连续,所以递增区间可以扩大到[0,100)(或[0,100]).(2)虽然

7、在x=100处导数为零,但在写单调区间时,都可以把100包含在内.15例2:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间.解:若a>0,对一切实数恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾.若a=0,此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.若a<0,则,易知此时f(x)恰有三个单调区间.故a<0,其单调区间是:单调递增区间:单调递减区间:和16巩固提高：1.证明：方程x-sinx=0只有一个实根x=0.2117例6（2000年全国高考题）设函数其中a>0,求a的取值范围，使函数f(x)在区间上是单调函数

8、。即181、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为()(A)(-1,1)(B)(1,2)(C)(-∞,-1)(D)(-∞,-1)，(1,+∞)2、若函数y=a(x3-x)的递减区间为()，则a的取值范围为()(A)a>0(B)–1