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1、2.5一、选择题1．一物体受到相互垂直的两个力f1、f2的作用，两力大小都为5N，则两个力的合力的大小为( )A．10N B．0N C．5N D.N[答案] C[解析] 根据向量加法的平行四边形法则，合力f的大小为×5＝5(N)．2．河水的流速为2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )A．10m/s B．2m/sC．4m/sD．12m/s[答案] B[解析] 设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则
2、v1
3、＝2，
4、v
5、＝10，v⊥v1.∴v2＝v－v1
6、，v·v1＝0，∴
7、v2
8、＝＝＝＝2.3．(2010·山东日照一中)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若
9、a
10、＝2，
11、b
12、＝3，a·b＝－6，则的值为( )A.B．－C.D．－[答案] B[解析] 因为
13、a
14、＝2，
15、b
16、＝3，又a·b＝
17、a
18、
19、b
20、cos〈a，b〉＝2×3×cos〈a，b〉＝－6，可得cos〈a，b〉＝－1.即a，b为共线向量且反向，又
21、a
22、＝2，
23、b
24、＝3，所以有3(x1，y1)＝－2(x2，y2)⇒x1＝－x2，y1＝－y2，所以＝＝－，从而选B.4．已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg
25、5，lg2)的作用下产生位移S精选范本,供参考！＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为( )A．lg2B．lg5C．1D．2[答案] D[解析] W＝(F1＋F2)·S＝(lg2＋lg5,2lg2)·(2lg5,1)＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2，故选D.5．在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 由＋＋＝，得＋＋＋＝0，即＝2，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．故＝＝.6．点P在平面上作匀速直线运动，速度v＝(4，－
26、3)，设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(速度单位：m/s，长度单位：m)( )A．(－2,4)B．(－30,25)C．(10，－5)D．(5，－10)[答案] C[解析] 5秒后点P的坐标为：(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5)．7．已知向量a，e满足：a≠e，
27、e
28、＝1，对任意t∈R，恒有
29、a－te
30、≥
31、a－e
32、，则( )A．a⊥eB．a⊥(a－e)C．e⊥(a－e)D．(a＋e)⊥(a－e)[答案] C[解析] 由条件可知
33、a－te
34、2≥
35、a－e
36、2对t∈R恒成立，又∵
37、e
38、＝1，∴t2－2a·e
39、·t＋2a·e－1≥0对t∈R恒成立，即Δ＝4(a·e)2－8a·e＋4≤0恒成立．精选范本,供参考！∴(a·e－1)2≤0恒成立，而(a·e－1)2≥0，∴a·e－1＝0.即a·e＝1＝e2，∴e·(a－e)＝0，即e⊥(a－e)．8．已知
40、
41、＝1，
42、
43、＝，⊥，点C在∠AOB内，∠AOC＝30°，设＝m＋n，则＝( )A.B．3C．3D.[答案] B[解析] ∵·＝m
44、
45、2＋n·＝m，·＝m·＋n·
46、
47、2＝3n，∴＝＝1，∴＝3.二、填空题9．已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是______
48、__．[答案] λ>－且λ≠0[解析] ∵a与a＋λb均不是零向量，夹角为锐角，∴a·(a＋λb)>0，∴5＋3λ>0，∴λ>－.当a与a＋λb同向时，a＋λb＝ma(m>0)，即(1＋λ，2＋λ)＝(m,2m)．∴，得，∴λ>－且λ≠0.10．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝4相交于A、B两点，且
49、AB
50、＝2，则·＝________.[答案] －2[解析] ∵
51、AB
52、＝2，
53、OA
54、＝
55、OB
56、＝2，∴∠AOB＝120°.精选范本,供参考！∴·＝
57、
58、·
59、
60、·cos120°＝－2.三、解答题11．已知△ABC是直角三角形，CA＝CB
61、，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.[证明] 以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设AC＝a，则A(a,0)，B(0，a)，D，C(0,0)，E.∴＝，＝.∵·＝－a·a＋·a＝0，∴AD⊥CE.12．△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于F，连结DF，求证：∠ADB＝∠FDC.[证明] 如图，以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，设A(0,2)，C(2,0)，则D(1,0)，＝(2，－2)设＝λ，则＝＋＝(0,2)＋(2λ，－
62、2λ)＝(2λ，2－2λ)，又＝(－1,2)由题设⊥，∴·＝0，∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.∴＝，∴＝－＝，又＝(1,0)，∴cos∠ADB＝＝，精选范本
