数学必修四成才之路2-3-1

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1、2.3.1一、选择题1．若a·c＝b·c(c≠0)，则(　　)A．a＝bB．a≠bC．

2、a

3、＝

4、b

5、D．a在c方向上的正射影的数量与b在c方向上的正射影的数量必相等[答案]　D[解析]　∵a·c＝b·c，∴

6、a

7、·

8、c

9、cos＝

10、b

11、·

12、c

13、cos，即

14、a

15、cos＝

16、b

17、cos，故选D.2．若

18、a

19、＝4，

20、b

21、＝3，a·b＝－6，则a与b的夹角等于(　　)A．150°　　　B．120°C．60°D．30°[答案]　B[解析]　cosθ＝＝＝－.∴θ＝120°.3．若

22、a

23、＝4，

24、b

25、＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为(　　)A．2

26、B.C．2D．4[答案]　C[解析]　a在b方向上的投影为

27、a

28、cos＝4×cos30°＝2.4．

29、m

30、＝2，m·n＝8，＝60°，则

31、n

32、＝(　　)A．5B．6C．7D．8[答案]　D[解析]　∵＝cos，∴＝，∴

33、n

34、＝8.5．向量a的模为10，它与x轴的夹角为150°，则它在x轴上的投影为(　　)A．－5B．5C．－5D．5[答案]　A[解析]　a在x轴上的投影为

35、a

36、·cos150°＝－5.6．若向量a、b满足

37、a

38、＝1，

39、b

40、＝2，a与b的夹角为60°，则b·b＋a·b等于(　　)A．3B．4C．5D．6[答案]　C[解析]　b·b＋a·b＝

41、b

42、

43、2＋

44、a

45、·

46、b

47、cos＝4＋1＝5.7．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是(　　)A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c[答案]　B[解析]　A中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则

48、a

49、＝

50、b

51、，C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故只有选项B正确．8．已知向量a、b满足

52、a

53、＝1，

54、b

55、＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为(　　)A.B.C.D.[答案]　C[解析]　cos＝＝＝，又∵

56、b>∈[0，π]，∴＝.二、填空题9．(2009·江苏)已知向量a和向量b的夹角为30°，

57、a

58、＝2，

59、b

60、＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝____.[答案]　3[解析]　a·b＝

61、a

62、

63、b

64、cos〈a，b〉＝2××cos30°＝2××＝3.10．已知

65、a

66、＝4，

67、b

68、＝6，且a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的正射影的数量为________．[答案]　－2[解析]　∵

69、a

70、＝4，

71、b

72、＝6，a·b＝－12，cos＝＝＝－，∴a在b上的正射影的数量为

73、a

74、·cos＝－2.11．已知△ABC中，

75、

76、＝

77、

78、＝4，且·＝8，则这个三角形的形状为_____

79、___．[答案]　等边三角形[解析]　∵·＝8，∴

80、

81、·

82、

83、cos<，>＝8，∴4×4×cos<，>＝8，∴cos<，>＝，∴<，>＝60°，又

84、

85、＝

86、

87、，∴三角形是等边三角形．12．若

88、a

89、＝6，

90、b

91、＝4，a与b的夹角为135°，则a在b方向上的投影为________．[答案]　－3[解析]　∵a＝6，

92、b

93、＝4，a与b的夹角为135°，∴a与b方向上的投影为

94、a

95、cos135°＝6×(－)＝－3.三、解答题13．在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，求·.[解析]　∵C＝60°，∴<，>＝120°，又

96、

97、＝a＝5，

98、

99、＝b＝8，∴·＝

100、

101、·

102、

103、·cos<，>＝5×8×cos1

104、20°＝－20.14．已知正六边形P1P2P3P4P5P6的边长为2，求下列向量的数量积．(1)·；(2)·；(3)·；(4)·.[解析]　(1)∵<，P1P3>＝，

105、

106、＝2.∴·＝

107、

108、·

109、

110、cos＝2×2×＝6.(2)∵<，>＝，

111、

112、＝4，∴·＝4×4×cos＝4.(3)∵<，>＝，∴·＝0.(4)∵<，>＝，∴·＝2×2×cos＝－2.15．在△ABC中，三边长均为1，设＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a的值．[解析]　∵

113、a

114、＝

115、b

116、＝

117、c

118、＝1，∴＝120°，＝120°，＝120°，∴a·b＝

119、a

120、

121、b

122、cos120°＝－，b·c＝

123、b

124、

125、

126、c

127、cos120°＝－，c·a＝

128、c

129、

130、a

131、cos120°＝－，∴a·b＋b·c＋c·a＝－.16．已知

132、a

133、＝2

134、b

135、≠0，且关于x的方程x2＋

136、a

137、x＋a·b＝0有实根，求a与b的夹角的取值范围．[解析]　∵方程x2＋

138、a

139、x＋a·b＝0有实根，∴Δ＝

140、a

141、2－4a·b≥0，∴a·b≤

142、a

143、2.cos＝＝＝≤＝，又∵0≤≤π，∴≤≤π.即a与b的夹角的取值范围为.17．定义

144、a×b

145、＝

146、a

147、·

148、b

149、·sinθ，