圆周角定理及其推论.ppt

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1、24.3圆周角第一课时情境导入复习引课1.圆心角的定义?.OBC答：在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。答:顶点在圆心的角叫圆心角2.上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？知识精讲ABC一个三角形，当它内接于一个圆时，它的任一个角都与圆有着特殊的位置关系.如图24-33，∆ABC内接于⊙O，这时∠A的定点在圆上，∠A的两边AB,AC分别与圆还有另一个公共点.像这样，定点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角.知识精讲类比圆心角探知圆周角在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角

2、相等.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么关系？为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系.你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗?知识精讲圆周角和圆心角的关系教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.（1）折痕是圆周角的一条边，（2）折痕在圆周角的内部，（3）折痕在圆周角的外部．图24-35知识精讲如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?说说你的想法,并与同伴交流.●OABC●OABC●OABC知识精讲我们得到以下几种情况.①∠ABC的一边BC经过圆心O。②∠ABC的两边都不经过圆心O。③∠ABC的两边都不经过圆心O。BAOC①ABCO

3、②BACO③请问∠ABC与∠AOC它们的大小有什么关系？说说你的想法，并与同伴进行交流。知识精讲下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况，即∠ABC的一边BC经过圆心O.BAOC∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠ABO+∠BAO.∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO.∴∠AOC=2∠ABO，∴∠ABC=∠AOC.1-2那么当∠ABC的两边都不经过圆心O时，∠ABC与∠AOC又有怎样的大小关系呢？ABCOBACO我们可以考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来考虑.也就是借用直径，连接BO并延长，与圆相交于点D.知识精讲（此时我们得到与图①同样的情形）ABCOD132BAOC

4、①54∵∠1是△ABO的外角;∴∠1=∠2+∠3.∵OA=OB;∴∠2=∠3.∴∠1=2∠2;知识精讲BACOBAOC①如图，连接BO并延长，与圆相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形）D∵∠AOD是△ABO的外角;∴∠AOD=∠A+∠ABO.∵OA=OB;∴∠A=∠ABO.∴∠AOD=2∠ABD;知识精讲如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形）BACOBAOC①D∵∠AOD是△ABO的外角;∴∠ABD=∠A+∠ABO.∵OA=OB;∴∠A=∠ABO.∴∠AOD=2∠ABD;知识精讲BACOBAOC①如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到

5、与图①同样的情形）D∵∠AOD是△ABO的外角;∴∠ABD=∠A+∠ABO.∵OA=OB;∴∠A=∠ABO.∴∠AOD=2∠ABD;知识精讲通过对三种情形的证明，同学们再认真观察图形，你会得到什么结果？BAOCABCOBACO一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的。一半知识精讲知识精讲由定理可得推论1在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等（图24-36）.推论2半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径（图24-37）.例1如图24-38，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD=60°，∠ADC=70°，求∠APC的度数.解

6、：连接BC，则∠ACB=90°,∠DCB=∠ACB-∠ADC=30°.∴∠APC=∠BAD+∠ADC=30°+70°=100°.合作与交流分析：∠APC等于圆周角∠BAD与∠ADC之和.又∵∠BAD=∠DCB=30°，AOCB如图，在⊙O中，∠BOC=50°，则∠BAC=。25°变化题2：如图，∠BAC=40°，则∠OBC=。ABCO变化题1：如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC=40°，则∠BOC=。50°80°合作与交流如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？ABCO解：∠ACB=2∠BAC.理由是:∵∠AO

7、B=2∠ACB；∠BOC=2∠BAC；∠AOB=2∠BOC；∴2∠ACB=2（2∠BAC）.∴∠ACB=2∠BAC.巩固提高1.到目前为止,我们学习到和圆有关的角有几个?它们各有什么特点?相互之间有什么关系?答:和圆有关的角有圆心角和圆周角.圆心角顶点在圆心;圆周角顶点在圆上，角的两边和圆相交。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。小结书本P29练习第1,2,3题课后作业哈尔莫斯说：“数学是一种别具匠心的艺术”结束语