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1、3.4基本不等式(第一课时)高二数学组韩朋林学习目标1.探索并了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明过程；2.掌握两个重要的不等式的结构特点和适用条件；3.能利用基本不等式求解简单的最值问题。菲尔兹奖会标的设计源自我国三国时期吴国的数学家赵爽为了证明发明于我国周代的勾股定理而绘制的弦图。它既标志着我国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学精英们。2002年第24届国际数学家大会在北京举行国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为国际数学界的“奥林匹克”.大会颁发的菲尔兹奖，被誉为“数学领域的诺贝尔奖”。思考
2、：1.会标图案含有怎样的几何图形？2.你能发现图案中存在哪些相等关系或不等关系？一、新知探究正方形ABCD的面积S=＿＿＿a2+b2四个直角三角形的面积和S=.2abADCBHFGEab当a≠b时a2+b2>2aba2+b2=2ab当且仅当a=b时，等号成立.变化的弦图当a=b时证明：（作差法）1.重要不等式：小结：当且仅当a=b时，等号成立.一般地，对于任意实数a、b，总有基本不等式证明：只要证①要证①，只要证②要证②，只要证③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.因此，原不等式成立.要证分析法………执果索因如图,AB是圆的直径,O
3、为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.(1)OD=.CD=.(2)你能据此给出基本不等式的几何解释吗？ABCDEabO几何意义：圆的半径不小于弦长的一半ODCD探究：当且仅当a=b时等号成立.2.基本不等式文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.小结：正数a，b的算术平均数正数a，b的几何平均数一般地，对于任意正数a、b，总有适用范围“=”成立的条件结构特点a=ba=ba,b∈Ra>0,b>0归纳总结：两个实数的平方和与积之间的关系两个实数的和与积之间的关系例1.已知x>0，
4、y>0，xy=4，求x+y的最小值.二、典例分析练习：已知x>0，y>0，x+y=2，求xy的最大值.-------应用基本不等式求最值例2.判断下列推理是否正确？二、典例分析末页求最值时注意:“一正，二定，三相等”例3.用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短篱笆是多少？解:设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短,最短的篱笆是40m.当且仅当x=y,即x=10，y=10时等号成立.二、典例分析下一页末页例3.用篱
5、笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短.最短篱笆是多少？因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短,最短的篱笆是40m.二、典例分析解:上一页末页因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2.则2(x+y)=36，变式练习：一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?矩形菜园的面积为xym2解:设矩形菜园的长为xm，宽为ym，x+y=18当且仅当x=y,即x=9，y=9时等号成立.课堂小结求最值时注意把握“一正，二定，三相等
6、”已知x,y都是正数,2.利用基本不等式求最值1.两个重要的不等式(1)重要不等式(2)基本不等式(2)x+y是定值，则xy有最大值(当且仅当x=y时,取“=”)(1)若xy是定值，则x+y有最小值(当且仅当x=y时,取“=”)作业课本100页习题A组1,2若x、y皆为正数，则当x+y的值是常数S时，xy有最大值_______当且仅当x=y时取等号.若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，x+y有最小值_______.当且仅当x=y时等号成立.3.基本不等式的应用----求最值：小结：应注意：一“正”二“定”三“相等”=(x+1)+-11x+1f(
7、x)=x+1x+1=1,≥2(x+1)∙-11x+1当且仅当取“=”号.∴当x=0时,函数f(x)的最小值是1.x+1=,即x=0时,1x+1解:∵x＞-1,∴x+1>0.∴例1.求函数f(x)=x+(x＞-1)的最小值.1x+1二、典例分析配凑系数分析:x+(1-2x)不是常数.2=1为解:∵00.12∴y=x(1-2x)=∙2x∙(1-2x)12≤∙[]22x+(1-2x)21218=.当且仅当时,取“=”号.2x=(1-2x),即x=14∴当x=时,函数y=x(1-2x)的最大值是.1418例2.若08、-2x)的最大值.12１．已知函数，求函数的最小值和此时x的取值．运用均值不等式的过程中，忽略了“正数”这个
