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1、基本不等式这是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？ab1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的面积和S’=＿＿３、S与S’有什么样的不等关系？探究１：S>S′即问：那么它们有相等的情况吗？>(a≠b)ADBCEFGHba结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。ABCDE(FGH)ab>(a≠b)(
2、a＝b)＝思考：你能给出不等式的证明吗？证明：（作差法）重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立文字叙述为:两数的平方和不小于它们积的2倍.适用范围：a,b∈R问题一问题一替换后得到：即：即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？证明：要证只要证①要证①，只要证②要证②，只要证③显然,③是成立的.当且仅当a=b时,③中的等号成立.分析法问题二证明不等式：当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.基本不等式在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；文字叙述为：两个
3、正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：a>0,b>0你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?问题三Rt△ACD∽Rt△DCB，ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD＞≥如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一
4、点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?问题三适用范围文字叙述等号成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比较注意从不同角度认识基本不等式上面两个重要不等式有如下变形及推广(当且仅当a=b时取”=“号)(当且仅当a=b时取”=“号)(当且仅当a=b时取”=“号)(当且仅当a=b时取”=“号)（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这
5、个矩形菜园长、宽个为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？100练习：已知三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100篱笆的长为2（x+y）m由，可得∴2（x+y）≥40当且仅当x=y时等号成立，此时x=y=10∴这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m设三角形的两条直角边为x、y，解：则s=∴xy=100∴当且仅当x=y=10时取等号∴当这个直角三角形的直角边都时10的时候，两条直角边的和最小为20例1结论1、若x、y皆为正数
6、，则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_______.成立条件：一正，二定，三相等（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？面积最大值是多少？练习：用20m长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2(x+y)=36即x+y=18∴=81当且仅当x=y=9时取等号∴当这个矩形的长、宽都是9m的时候面积最大，为81解：设矩形的长为xm，宽为ym，则2(x+y)=20即x+y=10∴=25当且仅当x=y=5时取等号∴当这个矩形的长
7、、宽都是5m的时候面积最大，为25xxyy结论2、若x、y皆为正数，则当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_______成立条件：一正，二定，三相等利用基本不等式求最值问题已知x>0,y>0,则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当_____时，x+y有最___值是______.（简记：积定和最小）(2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当____时,xy有最____值是______.（简记：和定积最大）x=y小x=y大一正、二定、三相等极值定理例题2某工厂要建造一个长方形无盖蓄水池，其容积为4800，深为3m，如果
8、池底每平方米的造价为150元，池壁的造价为每日平方米120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：水池呈长方形，它的高时3m，底面的长与宽没有确定。如果地面的长和宽确定了，水池的总造价也就确定了。因此，应当考察底面的长
