集合经典习题.ppt

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1、集合(二)高中数学奥赛辅导讲座--第一讲山东滕州一中王洪涛集合与集合;集合与其子集1.集合与集合：AB,AB,AB,A∩B,A∪B,UA,……2差集：A－B＝{x

2、x∈A且xB}(部分资料上用“AB”表示)3.集合运算律：(略)4.n个元素的集合所有子集个数为：2n已知集合A＝{1，3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1，3，x}，则这样的x的不同的值有()个A.1B.2C.3D.42.已知集合M中的元素都是自然数，且如果x∈M，则8－x∈M，则满足这样条件的集合M的个数为()A.64B.32C.16D.83.求集合{x∈Z

3、≤2x＜32}的真子集个数.4.已知M＝{a，

4、a＋d，a＋2d}，N＝{a，aq，aq2}，且M＝N，求q的值.一.集合与集合的运算例5．已知集合M＝{直线}，N＝{抛物线}，则M∩N中元素的个数为()(A)0；(B)0,1，2其中之一；(C)无穷；(D)无法确定[分析]M中的元素为直线，是无限集；N中的元素为抛物线，它也是无限集。由于两集合中的元素完全不同，即既是直线又是抛物线(曲线)的图形根本不存在，故M∩N＝φ，选(A)[说明]若想当然地误认为M中的元素是直线上的点，N中的元素是抛物线上的点，当误认为是判断直线与抛物线的位置关系即相交，相切、相离时，会选(B)；例6．已知A＝{y

5、y＝x2－4x＋3，x∈R}，B＝{y∣y

6、＝－x2－2x＋2，x∈R}，求A∩B先看下面的解法：　　解：联立方程组y＝x2－4x＋3①y＝－x2－2x＋2②①－②消去y，得2x2－2x＋1＝0③因为Δ＝(－2)2－4×2×1＝－4<0，方程③无实根，故A∩B＝φ上述解法对吗？[说明]上述解法对吗？画出两抛物线的图象：y＝x2－4x+3=(x-1)(x-3),开口向上，与x轴交于(1,0)、(3,0)，对称轴为x＝2，纵截距为3；y＝－x2－2x＋2＝－(x＋1)2＋3，开口向下，与x轴交于(－1－√3,0)、(－1＋√3,0)，对称轴为x＝－1，观察可知，它们确实没有交点，但这解答对吗？42-2-4-5542-2-4-55

7、回头审视两集合A、B，它们并不是由抛物线上的点构成的点集。两集合中的元素都是实数y，即当x∈R时相应的二次函数的函数值所组成的集合，即二次函数的值域集合。故由y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，y＝－x2－2x＋2＝－(x＋1)2＋3≤3，可知A＝{y∣y≥－1}，B＝{y∣y≤3}，它们的元素都是“实数”，从而有M∩N＝{y∣－1≤y≤3}你看，认清集合中元素的构成是多么重要！二.集合与集合的包容关系在两个集合之间的关系中，我们感兴趣的是“子集”、“真子集”、“相等”这三种特殊关系。这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的，因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元素与这两个集

8、合的关系入手。例7.已知集合A中有10个元素，且每个元素都是两位整数，证明：一定存在这样两个A的子集，它们中没有相同的元素，而它们的元素之和相等.证明：这10个元素的总和S＜100×10＝1000而A的子集总共有210＝1024＞1000＞S根据抽屉原理，至少存在两个子集，他们的元素之和相等，记为M、N，如果M、N没有公共元素，则M、N就是满足题意的子集，命题得证.如果M、N中有公共元素，记M∩N＝Q,考查集合M'＝M－Q,N'＝N－Q则M'、N'中没有公共元素，且M'、N'的元素之和相等，同时它们都是A的子集.即M'、N'为所求集合.命题成立！解：（1）。。例8．S1、S2、S3为

9、非空集合，对于1，2，3的任意一个排列i、j、k，若x∈Siy∈Sj，则x-y∈Sk(1)证明：三个集合中至少有两个相等。(2)三个集合中是否可能有两个集无公共元素？证明：（1）若x∈Siy∈Sj，则x-y∈Sk所以每个集合中均有非负元素。当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立。否则，设S1、S2、S3中的最小正元素为a，不妨设a∈S1，设b为S2、S3中最小的非负元素，不妨设b∈S2则b-a∈S3。若b>0,则0≤b-a＜b，与b的取法矛盾。所以b=0。任取x∈S1因0∈S2,故x－0＝x∈S3。所以，同理所以S1=S2。(2)可能。例如S1=S2={奇数}，S3={偶数}显然满

10、足条件，S1和S2与S3都无公共元素。例９．设S为满足下列条件的有理数的集合：①若a∈S，b∈S，则a+b∈S，ab∈S；②对任一个有理数r，三个关系r∈S，－r∈S，r＝0有且仅有一个成立。证明：S是由全体正有理数组成的集合。证明：设任意的r∈Q，r≠0,由②知r∈S，或－r∈S之一成立。再由①，若r∈S，则；若－r∈S，则。总之，取r=1，则1∈S。再由①，2=1+1∈S，3=1+2∈S，…，可知全体正整数都属于S。设p、q∈S，由①pq∈S，又由前证