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1、§3.4基本不等式学习目标1、探索并了解基本不等式的证明过程2、能利用基本不等式求函数的最值2002年第24届国际数学家大会在北京举行2002年第24届国际数学家大会在北京举行会标的设计源中国古代数学家赵爽为了证明发明于中国周代的勾股定理而绘制的弦图。它既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学精英们。欣赏体会丰富自我2002年国际数学家大会会标创设情境、体会感知：三国时期吴国的数学家赵爽思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？探究1一、探究问2：Rt△ABF,Rt
2、△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它们的面积总和是S’=———问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则AB=则正方形的面积为S=。问3：观察图形S与S’有什么样的大小关系？易得，s>s’,即ADCBHGFE问4：那么它们有相等的情况吗？何时相等？结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立探究2问5：当a,b为任意实数时，还成立吗？形数此不等式称为重要不等式2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数（均值不等式）2.代数证明:3.几何意义：半弦长小于等于半径（当且仅当a=b时，等号成立）二、
3、新课讲解1.思考:如果用去替换中的,能得到什么结论?必须要满足什么条件?算术平均数几何平均数基本不等式3.几何证明:从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项（均值不等式）基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立.当且仅当a=b时，等号成立.重要不等式：注意：（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。应用二：解决最大（小）值问题分析：（1）面积一定，求长与宽的和的最小值（2）________一定，求_________的最大值长与宽的和长与宽的积联想：（左右）（左右）例2、（1）用篱笆围一个
4、面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？应用举例例2、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？应用二：解决最大（小）值问题解：(1)设长为xm,宽为ym,则xy=100,篱笆的长为2(x+y)m由可得∴2（x+y）≥40当
5、且仅当x=y即x=y=10时，等号成立答(略)一正二定三相等应用举例应用二：解决最大（小）值问题归纳小结：（1）两个正数的积为定值，和有最小值（2）两个正数的和为定值，积有最大值应用要点：二定一正三相等例2、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？应用举例例2、（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短篱笆是多少？（2）
6、一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？应用二：解决最大（小）值问题解：(2)设长xm,宽ym,则2(x+y)=36,x+y=18面积为xym2由可得当且仅当x=y即x=y=9时，等号成立答(略)应用举例1.(1)已知两个正数a,b的积等于36,则当a=_____,b=_____时,它们的和最小,最小值等于_____？(2)已知两个正数a,b的和等于18,则当a=_____,b=____时,它们的积最大,最大值等于_____？巩固练习81669912（1）两个正数的积为定值，和有最
7、小值（2）两个正数的和为定值，积有最大值归纳小结三、应用例1、若,求的最值.变2:若,求的最小值.发现运算结构，应用不等式分析：原式子是和为定值还积为定值，有最大值还是最小值三、应用例2、已知,求函数的最大值.变式:已知,求函数的最大值.发现运算结构，应用不等式应用要点：一正二定三相等例3：（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.因此，这个矩形的长、宽
8、都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多
