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1、第十章勒让德多项式球函数10.1勒让德方程及其解的表示10.1.1勒让德方程勒让德多项式在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT（10.1.1）在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程（10.１.2）(10.1.2)式的解与半径r无关，故称为球谐函数，或简称为球函数．和球谐函数方程Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT球谐函数方程进一步分离变量，令得到关于的常微分方程（10.1.3）称为l阶连带勒让德方程.令和把自变数从换为，则方程（10.1
2、.3）可以化为下列阶连带勒让德方程形式的Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT（10.1.4）若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与无关，则，即有（10.1.5）称为阶勒让德（legendre）方程．Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT10.1．2勒让德多项式的表示1.勒让德多项式的级数表示我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解为（10.1.7）式中上式具有多项式的形式，故称也称为第一类勒让德函数．为l阶勒让德多项式．Chang-KuiDuan,InstituteofM
3、odernPhysics,CUPT注意到,故可方便地得出前几个勒让德多项式:Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT2勒让德多项式的微分表示（10.1.10）上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表示式．Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT3.勒让德多项式的积分表示根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有容易证明微分表示（10.1.10）也可表示为环路积分形式（10.1.11）C为z平面上围绕并取正方向．这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式．点的任一闭合回路
4、，Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT10.2勒让德多项式的性质10.2.1勒让德多项式的性质1.勒让德多项式的零点对于勒让德多项式的零点，有如下结论：（i）的个零点都是实的，且在内；（ii）的零点与的零点互相分离．2.奇偶性根据勒让德多项式的定义式，作代换容易得到（10.2.1）即当为偶数时，勒让德多项式为偶函数，为奇数时为奇函数Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT3.勒让德多项式的正交性及其模不同阶的勒让德多项式在区间上满足(10.2.2)其中当时满足，(10.2.3)称为正交
5、性．相等时可求出其模(10.2.4)Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT4.广义傅里叶级数定理10.2.1[-1,1]上的任一连续函数可展开为（10.2.5）其中系数(10.2.6)在实际应用中,经常要作代换,此时勒让德方程的解为，这时有(10.2.7)（10.2.8）Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT10.2.2.勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）例10.2.1将函数按勒让德多项式形式展开.【解】根据（10.2.5）设考虑到，由(10.2.6)显然有所以Chang-KuiD
6、uan,InstituteofModernPhysics,CUPT例10.2.2将函数展开为勒让德多项式形式【解】令，则由考虑到勒让德函数的奇偶性可定出故有Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT下面我们给出一般性结论：结论1：设为正整数，可以证明：结论2：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数为奇函数，则展开式（10.2.5）系数若需展开的函数为偶函数，则展开式（10.2.5）系数Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT例10.2.3以勒让德多项式为基，在[-1,1]区间上把展开为广义傅
7、里叶级数．【解】本例不必应用一般公式，事实上，是三次多项式（注意既非奇函数，也非偶函数），设它表示为Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT比较同次幂即得到由此得到Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT10.3勒让德多项式的生成函数（母函数）10.3.1勒让德多项式的生成函数的定义如图10.2所示，设在一个单位球的北极放置一带电量为的正电荷，则在球内任一点（其球坐标记作）的静电势为（10
