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1、以勾股图为模型的中考试题及其变式探究图1图2勾股定理址刻画直角三角形三边关系的•条审要定理，它的发现、验证和应用组含着丰富的文化价值.验证勾股定理的方法非常多，最常用的方法之一就是利用如图1所示的勾股图.在近几年的中考中，以勾股图为模型编拟的中考试题屡见不鲜.笔若从近几年的中考试题中选取了一些以勾股图为模型编拟的中考试题•并对这些试题进行变式探究，得到一系列有趣的数学问题,供读者参考.一、以勾股图为模型的中考试题如图I,以边长分别为a、6、c的克角三角形的三边为边向外作三个正方形人、b、c,其中rr角三角形两条直角边的长分别为a、6,斜边长为C.则S“,ST、S".又因为冲乞
2、，.所以三个正方形A”、C之间的面积关系为S+利用这一面积关系可方便地解决下列问题.例1（2009年达州）图2是一株黄丽的勾股树.其中所冇的四边形都是止方形，所有的二角形都是直角三角形.若正方形人、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面积是（）.A.13B.26C.47D.94解析：由图仲的面积关系易知』存Sa+S卄S^S沪3?+52+2U3W故选C.点评：此题以勾股图为模型，将勾驶图炎为勾股纫，设计巧廿，主吳考吏勾股田中的面枳关系S,+5卢&由此可见，勾股图中的面积关系点辭决某些何題时非常方便.其实，勾股图与矩形、直角三角彬茅图形以不同的方式俎合，可将到一
3、系列有趣的救学问題.能为学生的学习提供更多具有挑战性和探索枚的学习素材.这也许是勾段图另一个求要的作用.例2（2012年宁波）勾股定理圧儿何中的个莊耍定理.在我国古算供周髀算经冲就有“若勾二，股四•则弦五”的记载.如图3是由边长相等的小正方形和角形构成的•町以川其向积关系验证勾股定理.图4足由图3放入矩形内得到的.Z.«4C=90a,.l^=3,/iC=4.点£,F,GJI、I祁在矩形AXMJ的边上•则矩形KLMJ^M枳为（）.A.9OB」00C.I10D.12I分析：如图5.延氏4〃交KF于点O•延长4C交于点P,可得四边形.40"扯止方形，然垢求出正方形的边长，再求岀矩形
4、KLAIJ^怏与宽，然厉根据矩形的Iff］枳公式列式计算即可得解.解：如图5•延长仙交AT于点O•延MC交GM于点P.易知四边形人OJ.P址正方形.边iC4O=>lBMC=3+4=7,所以，人Z=3+7=10仏恨4+7=d1，因此•矩形A"〃的面积为10x11=1J0.故选C.点评：本题巧垃地将勾履图放入矩形中，得到了一it嫌索社较强的试题.合理禺加柿助线，枸迢出正方形是解决本题的关從.其实，图5中所购遥的正方形AOLP是验逞勾股丸.理的“弦方田”.将勾股图放入克角三角形•可得到如下试题.例3（2010年温州）勾股定理有若悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了
5、二枚以勾股图为背呆的邮票•如图6所示.所谓勾股图是指以X角三角形的三边为边向外作正方形构成的•它町以脸证勾股定理.在图7的勾股图中，已知乙4C〃=90°,乙ZMC=30OM〃=4.作尺使得乙尺=90。,点"在边匕,点住边PR上，点G,F在边巴上•那么△代用的周反等于,用形.所以AH=HC=X^4CMHVf1^X；F=22昭YJ_bc.2从而图中阴彫部分的面积为图7黠析：如图7・延K/H知Q卞点,・W'HA丄RQ.乂凶为乙八曲9（化所以ARnIDT.任I"A4“C中•因为乙BX430。M«=4•所以H（：^2.AC^2Vi•厶ZMA=60：T足Z-4//V=3O%A7/=3.
6、乙V//G=60°.易知△/!〃（：=△GHC.所以厶CGF二对.所以从Iftj«»J知.△QGH是零边三他形.所以g二QHTUAC=2X/"T・所以0"二0〃+、〃+、K=2vn3+47+2/T・从而町知.QHQR=14^41/3-RP=f^lV3.故△代爪的网氏等于27和3/1•点讦：由勾股定理及辛腰亢角三鳥劭的面/易知.这与勾杖图中三个正方邢之间的而识关系完仝一效.能够正莎地用的边坎表示爭fltJL财△/!〃（：■△〃（/・△A的蟲他是解决本14的关徴折农.例6（2008年陕西）inW10•在梯形NBC0中M8〃DC.厶ADC+厶〃C〃二90°.2AB.分別以DAS
7、BJiC为边向梯形外作正方形•其面积分DEC图10别为，・*S、・则$之何的关系足,解析:过点B作BE〃AD妙C于点£•则ZI吩ZHEC因为厶/IDC♦乙从：〃=90■二、由勾股图变式的中考题以勾股09为模舉•将勾股图中的正方形变为半圆正三用形.或将勾股图中的直角三角形的边通过适当的图形变换•可附到历年一些中号试题•例4（2009年湖州）如图乩已知在KlA.4KC中.厶XH-4.分别VIAC.HC为f［彳空作半闘•ifti积分别记为s宀.则恥S：的ff（等于.解析:gs=illy4C
8、+*E^BC
