以“共顶正方形”为模型的中考试题及变式探究

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1、万方数据颖试题2014年4月以“共顶正方形”为模型的中考试题及变式探究一、基本模型⑩宁夏中卫市沙坡头区宣和镇张洪学校张宁例1(2008年广东省初中数学竞赛)如图l，正方形A曰cD的边长为2，点E在边AB上．四边形E彤B也是正F方形，设△A粥的面积为．s，则()．A．．s=2B．．s=2．4』訇lC．5=4D．．s与BE的长度有关解析：设正方形口E彤的边长为o，则A肚2吨，cG-2忆．s=S△4脱+S正方形眈Fg+S纠旷Js△cGF：j一×2×2+矛+—Ln(2一口)一j一口(2+口)2：2+口z+口一—上nz一口一j一Ⅱ2：2．2点评：本题以两个

2、具有一个公共顶点的正方形为基本模型．主要考查了正方形的性质、三角形面积的求法等知识．由于△AFc的面积不易直接求得，故采用间接求法：利用某些特殊图形的面积来表示△A彤的面积，这种方法是求不特殊图形的面积的一种重要方法．在表示△A用的面积的过程中，还需要有正方形曰E彤的边长，因而这里又体现了“设而不求”的解题方法．从解题过程来看。△4彤的面积与正方形E彤曰的边长无关．本例中所涉及的几何图形简洁优美．内涵丰富，不妨称之为“共项正方形”．即有公共顶点的正方形称之为“共顶正方形”．二、以“共顶正方形”为模型的中考试题1．以“共顶正方形”为模型。求阴影部分

3、的面积例2(2012年湖北潜江市)如图2，线段AC-几+l(其中n为正整数)，点B在线黝c上，在线段Ac同侧作正方形AB肘Ⅳ及正方形BCEE连接AM、伽、EA得到△AME当AB=1时，△A枷的面积记为S。；当●■_中。?敷·?初中版图2A日-2时，△A^循的面积记为Js：；当A日=3时，△A伽的面积记为53；⋯；当AB矶时，△AME的面积记为S，当n≥2时，．s广S。4=解析：设正方形AB删的边长为m，则CE=BC；AC—AB=n+1一m．所以S出^伍=Js梯形睨日一．s出旷Js出凹=÷[m+(肼1一m)](肿1一m)+÷m2_÷(肘1)(肿1一

4、m)={(n+1)(n+1一m)+÷mz_吉(n+1)(肼1一m)2：上mj2由此可知：当AB勘一1时，△A伽的面积s一：士(n_1)：；当A日：n时，△A船的面积s：喜凡j所以踣s。F丢n2_{(几一1)2_n一吉．点评：本题以“共顶正方形”为模型，以规律探索的形式考查了图形面积的求法．设出正方形A曰，州的边长，并以正方形ABMN的迦畏表示梯彤BCEM、△ABM、△A蚀等特殊图形的面积是解决问题的关键，最后用这些特殊图形的面积来表示△A肘E的面积．从求解过程可以看出，阴影部分的面积只与△ABM的面积有关，即与正方形AB肘Ⅳ的边长有关．本题所用的

5、解题方法与例l基本相同．2．以“共顶正方形”为模型．判断角的大小关系例3(2013年台湾省)如图3，四边形A日cD、AE粥均为正方形，其中赃BC上，且B、E两点不重合，并连接BG．根据图中标示的角，有下列关一l于[1、二2、[3、[4的大小关系的判断，其中正确的是()．A．[1<￡2C．[3<[4B．￡1>[2D．二3>[4EC图3万方数据2014年4月解析：因为四边形ABCD、A肼IG均为正方形，所以[ZMD=[EAG=90o．因为￡鲋D=[1+￡DAE=900，￡鲋C=￡2+[DAE=900。所以[1=￡2．因为△A明是直角三角形，所以AE财

6、B．因为四边形A朋G是正方形，所以AE；AG．所以AG>AB，所以[3>￡4．故选D．点评：本题以“共顶正方形”为模型．主要考查正方形的性质：正方形的四条边都相等，每一个角都是直角；同角的余角相等；在同一个三角形中，较长的边所对的角大于较短的边所对的角．在解题过程中将边的大小关系转化为角之间的大小关系是解决问题的关键．3．以“共顶正方形”为模型。考查综合运用所学知识推理论证的能力这类试题以“共顶正方形”为模型，涉及的知识点有线段的相等关系或位置关系、角的相等关系、全等三角形的性质和判定、正方形的性质、勾股定理等，突出数学知识的整体性，主要考查综合

7、运用所学知识推理论证的能力．例4(2013年辽宁营口)如图4，△ABC为等腰直角三角形，厶4CB=900，fj毛AC边上的一个动点(点聘A、C不重合)，以C助一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接日F、AD．图4D(1)①猜想图4中线段曰F、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论．②将图4中的正方形C嗍着点c按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度a，得到如图5、图6所示的情形．图5中B府阻c于点日，交AD于点D，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图5证明你的判断．图5图6(2)将原题中的等腰直角三角形A曰C改为直角三角形AB

8、C，厶4CB=900，正方形cDE，改为矩形CDEF，如图^7，且Ac=4，Bc=3，cD=÷，限1，B胶Ac于点日，交ADj于点0，连