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1、x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)制作人:李明明 钟祥市职业高中数学组椭圆及其标准方程051015202530课题导入11997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息：从1997年2月中旬起，海尔.波普彗星将逐渐接近地球，4月以后又将渐渐离去；并预测3000年后，它还将光临地球上空，1997年2月至3月间，许多人目睹了这一天文现象。原来，海尔.波普彗星运动的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而计算出它的运行的周期及轨道的周长，预测它接近地球或渐渐离去
2、的时间.051015202530椭圆定义2平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于∣F1F2∣)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点.两焦点的距离叫做椭圆的焦距.XY0F1F2M课题导入1051015202530椭圆定义2课题导入1想一想:(1)如果平面内到两个定点的距离刚好等于∣F1F2∣,那么这个点的轨迹是什么?(2)如果平面内到两个定点的距离小于∣F1F2∣,那么这个点的轨迹又是什么?F1F2XY0这就是当动点到两定点的距离等于定点间的距离时的运动轨迹答案:当动点到两个定点的距离小
3、于∣F1F2∣时,我们得不到任何图象.M答案:以两定点为端点的一条线段.XY0M(x,y)F1(-c,0)F2(c,0)P=｛M︱
4、MF1
5、+
6、MF2
7、=2a｝051015202530课题导入1椭圆定义21)建立坐标系2)设点的坐标3)写点的集合推导方程34)列出方程∵│MF1│=√(x+c)²+y²│MF2│=√(x-c)²+y²∴得方程√（x+c)²+y²+√(x-c)²+y²=2a051015202530课题导入1椭圆定义2推导方程31)建立坐标系2)设点的坐标3)写点的集合4)列出方程5)化简整理
8、由椭圆的定义可知:2a>2c，即a>c，所以a²-c²>0;设a²-c²=b²(b>0)，再两边除以(ab)²，得即（a²-c²)x²+(ay)²=a²(a²-c²)x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)这个方程叫椭圆的标准方程,它所表示的椭圆的焦点在X轴上,焦点是F1(-c,0)和F2(c,0).注:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)将这个方程移项，两边平方，得（x+c)²+y²=4a²-4a√(x-c)²+y²+(x-c)²+y²化简得a²-cx=a√(
9、x-c)²+y²两边再平方，得a4-2a²cx+c²x²=a²x²-2a²cx+a²c+a²y²051015202530课题导入1椭圆定义2推导方程3标准方程4图象x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)y²/a²+x²/b²=1(a>b>0)XY0M(x,y)F1(-c,0)F2(c,0)x0M(x,y)F1(0,-c)F2(0,c)Y标准方程形式如何根据椭圆的标准方程,判断焦点在哪个坐标轴上?答案:比较两个分式的分母,分母大的一个,说明焦点就在这个分母所对应的坐标轴上.051015202530课题导入
10、1椭圆定义2推导方程3标准方程4例题分析5写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)a=4,b=1,焦点在X轴上;(2)a=4,c=2,焦点在Y轴上.例1解:(1)由题意可知:焦点在X轴上,则设标准方程为x²/a²+y²/b²=1∵a=4,b=1代入方程得到:∴标准方程是:x²/16+y²=1(2)由题意可知:焦点在Y轴上,则设标准方程为y²/a²+x²/b²=1∵a=4,c=2由a²-c²=b²可得:∴b²=12∴标准方程是:y²/16+x²/12=1051015202530课题导入1椭圆定义2推导方程3
11、标准方程4例题分析5例2求下列椭圆的焦点与焦距:(1)x²/25+y²/16=1(2)x²/144+y²/169=1解:(分析:要求椭圆的焦点与焦距,首先我们必须判断焦点的位子,即焦点在哪个坐标轴上,然后根据a²-b²=c²求c的值,最后写出焦点的坐标)(1)根据椭圆的标准方程知,x²所对应的分母大,则焦点在X轴上;∴c²=a²-b²=25-16=9∴焦距2c=6;焦点坐标为:(3,0)和(-3,0)(2)根据椭圆的标准方程知,y²所对应的分母大,则焦点在y轴上;∴c²=a²-b²=169-144=25∴
12、焦距2c=10;焦点坐标为:(0,5)和(0,-5)051015202530课题导入1椭圆定义2推导方程3标准方程4例题分析5练习题：1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）a=4，焦点为F1（-3，0），F2（3，0）（2）b=4，焦点为F1（0，-3），F2（0，3）2。求下列椭圆的焦点与焦距:（1）2x²+y²=8（2）3x²+4y²=123。平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹的方程
