数学建模——最优捕鱼模型.doc

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1、最优捕鱼模型一.问题的重述捕鱼业在当今社会中十分重要的行业，捕鱼量的大小决定着捕鱼的经济效益，其中捕鱼量与捕鱼时间有着密切关联.所以如何利用数学模型了解捕鱼量与捕鱼时间之间的关系，是一个具有现实意义的问题.现假设在一个鱼塘中投放若干鱼苗，鱼苗尾数随着时间的增长而减少，且相对减少率为常数；每尾鱼的重量随着时间增长而增加，且由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比.分析如下问题：问题一：建立尾数和时间的微分方程并求解；问题二：建立每尾鱼重量和时间的微分方程并

2、求解；问题三：用控制网眼的方法不捕小鱼，从一定时刻开始捕捞，用尾数的相对减少率表示捕捞能力，分析开始捕鱼的最佳时刻，使得捕获量最大，并建立相关模型.二.问题分析1.针对问题一，根据相对减少率的数学定义，可以建立鱼尾数和时间的微分方程；2.针对问题二，将鱼体假设为球体，得出鱼的表面积与它重量的关系，使得鱼的重量完全成为一个关于时间的函数，进一步建立出鱼重量与时间的微分方程；3.针对问题三，将捕捞行为看作连续的过程，瞬时捕捞量与瞬时捕鱼尾数、每尾鱼瞬时重量呈正相关关系，瞬时捕鱼尾数与捕捞能力有关，每尾鱼瞬

3、时重量可由对问题二的解答得出，总捕捞量即为瞬时捕捞量关于时间的积分.三.基本假设1．假设自然因素不会对鱼的尾数产生影响；2．假设在整个捕捞过程中鱼没有繁衍行为；3．假设每尾鱼都均衡生长；4．假设在捕捞过程中鱼的条数连续；5．假设鱼为球体.四．符号表示鱼塘中最初投放的鱼苗数量时间鱼塘内鱼苗尾数与时间的函数鱼苗尾数的相对减少率每尾鱼体积每尾鱼表面积每尾鱼重量每尾鱼初始重量每尾鱼重量密度时刻鱼塘内鱼苗尾数每尾鱼重量减少率与其重量本身比例系数每尾鱼重量增加率与鱼表面积比例系数能获得最大捕捞量的初始时间捕捞能力

4、总捕捞量五．模型建立与求解模型一.鱼苗尾数的相对减少率为常数.由相对减少率的定义得即即解得模型二.假设鱼为球体，体积为，表面积为，半径为，重量为，初始重量为，鱼的密度为;且每尾鱼的重量随着时间增长而增加，其中由于喂养引起的每尾鱼重量增加率与鱼表面积成正比（比例系数为），由于消耗引起的减少率与其重量本身成正比（比例系数为）.由，，得令又由于,，所以模型三.控制网眼不捕小鱼，鱼塘中瞬时鱼尾数用表示，捕捞能力（）可以用尾数的相对减少率表示，从时刻开始捕捞，使得捕捞量能够最大.其中减少量包括自然减少量（即第一

5、模型中的减少量）和捕捞量.此时，所以，则，在此模型下，捕捞时间越早，捕捞量越大.模型四.建立在模型三的基础上，捕捞量的大小不仅取决于鱼尾数，还取决于鱼的重量.即所以，可根据此函数求得最大捕捞量所对应的时刻.