新编应用数学 理工类 第二版 线性代数线性代数.ppt

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1、第1章行列式第2章矩阵及其运算线性代数第1章行列式1．1行列式的定义1．1．1二阶行列式1．1．2三阶行列式1．1．3ｎ阶行列式返回1．1．1二阶行列式符号称为二阶行列式。它是由、、、四个数排成的二行二列（横排的称为行，竖排的称为列）的数表，它代表的是算式，即其中称为二阶行列式的元素，下标i是行列式的行标，表示元素所在的行，j是列标，表示元素所在的列。表明这一元素在第i行第j列。二阶行列式共有个元素。我们把到用实线连接，称该实线为主对角线，到该虚线为副对角线。于是二阶行列式的值便是主对角线上两个元素之积减去副对角线上

2、两个元素之积所得的差，这叫对角线法则。当所有的都是数时，行列式的值是一个具体的数值，若其中有字母出现，则行列式的值返回用虚线连接，称是一个代数式。一般地行列式用字母D表示。例1计算下列行列式（1）（2）解（1）（2）1．1．2三阶行列式符号称为三阶行列式，它是由个元素排排成的三行三列的数表。规定它的运算为：这种计算行列式的方法称为对角线展开法。行列式值的实质就是不同行、不同列的元素乘积的代数和。例2计算行列式返回解1．1．3ｎ阶行列式１．余子式和代数余子式对角线展开法只适用于二、三阶行列式，为了定义n阶行列式的计算，

3、先了解余子式和代数余子式：在行列式中，划去元素所在的第i行和第j列，剩下的元素保持原来相对位置不变而构成的二阶行列式称为元素的余子式，记作。。例如返回若记,则叫做元素的代数余子式。例如D中元素的代数余子式为例3求行列式D的代数余子式，，，其中解；；应用余子式和代数余子式的概念，行列式由上式可以看出，三阶行列式的值等于第一行元素与其对应的代数余子式乘积之和。该式称为行列式按第一行展开的展开式。2.n阶行列式由n行n列元素排成符号：D=叫做n阶行列式，它是由个元素排成的n行n列的数表。规定它的计算为:D=对于n阶行列式元

4、素的代数余子式的定义与三阶行列式元素的代数余子式的定义相同。n阶行列式的代数余子式是阶行列式。主对角线以上（下）元素都为零的行列式称为三角行列式。行列式称为上三角行列式。将此n阶行列式依次按第一列展开得即下三角行列式的值也是主对角线上元素之积。例4计算行列式解第2章矩阵及其运算2.2矩阵的运算2.2.1矩阵的加（减）法2.2.2数与矩阵的乘法2.2.3矩阵的乘法2.2.4方阵的幂2.2.5矩阵的转置2.2.6方阵的行列式返回2.2.1矩阵的加（减）法定义1把两个m行n列矩阵A=（），B=（）对应的元素相加（减）得到的

5、m行n列矩阵，称为矩阵A与B的和（差），记作A+B（A-B），即若返回则简记为显然同型矩阵才能进行加（减）法运算。特别有；例1已知A=,B=求A+B，A-B解=矩阵的加法满足下面两个运算律：（1）交换律A+B=B+A（2）结合律（A+B）+C=A+(B+C)2.2.2数与矩阵的乘法定义2用数k去乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵，称为数乘矩阵，记作kA，即kA=简记为特别地返回数与矩阵乘法满足下面三个运算律：（1）交换律kA=Ak（2）分配律k(A+B)=kA+kB（3）结合律(kl)A=k(lA)其中k,l为任意实数

6、，A，B为同型矩阵。例2设A=,B=，求B+2A解由矩阵数乘与加法的定义知+例3已知A=,B=且A+2X=B，求矩阵X。解（矩阵）方程A+2X=B变形可得2.2.3矩阵的乘法例子：某公司生产A，B，C三种产品，它们的生产成本分为三类：原料成本、人工成本和管理与其他成本。每一类成本中，给出生产单个产品所需要的成本估计值。同时还给出每种产品在每一个季度生产的数量的一个估计值，这些估计值在表2-1和表2-2中列出。该公司希望在股东会议上用一张表格展示出在每一季度中每一类成本的成本值。返回表2-1生产单位产品的成本(单位:元

7、)产品成本ABC原料人工管理与其他0.100.300.100.300.400.200.150.250.15表2-2每季度的产量(单位:元)季度产品春季夏季秋季冬季ABC400022006000400020005800450026006200450024006000解我们用矩阵方法来考虑这个问题。这两个表格中的每一个均可表示为一个矩阵：单位产品的成本矩阵和每个季度的产量矩阵我们如下构造这两个矩阵的乘积MPMP中的第一列将表示春季的各类总成本：原料：0.10×4000+0.30×2200+0.15×6000=1960人工

8、：0.30×4000+0.40×2200+0.25×6000=3580管理与其他：0.10×4000+0.20×2200+0.15×6000=1740MP中的第二列将表示夏季的各类总成本：原料：0.10×4000+0.30×2000+0.15×5800=1870人工：0.30×4000+0.40×2000+0.25×5800=3450管理与其他