[考研数学]线性代数第二章ppt课件.ppt

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1、§2.1矩阵在某些问题中所有数据可以用一个矩形表完整表示比如线性方程组可以对应一个矩形表这个矩形表就称为矩阵例1设有线性方程组这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个4行5列的矩形阵列如下这个阵列决定着给定方程组是否有解以及如果有解解是什么等问题因此对这个阵列的研究就很有必要由此得到排成4行4列的产值阵列它具体描述了这家企业各种产品各季度的产值同时也揭示了产值随季节变化规律的季增长率及年产量等情况例2某企业生产4种产品各种产品的季度产值(单位万元)如下表由此得到一个m行n列阵列它描述了生产过程中产

2、出的产品与投入材料的数量关系例3生产m种产品需用n种材料如果以aij表示生产第i种产品(i12m)耗用第j种材料(j12n)的定额则消耗定额可以用一个矩形表表示定义21(矩阵)由mn个数aij(i12mj12n)排成的一个m行n列的矩形表称为一个mn矩阵记作其中aij称为矩阵的第i行第j列的元素一般情况下我们用大写黑体字母ABC等表示矩阵mn矩阵A简记为A(aij)mn或记作Amn零矩阵所有元素均为0的矩阵称为零矩阵记为O非负矩阵所有元素均为

3、非负数的矩阵称为非负矩阵n阶方阵若矩阵A的行数与列数都等于n则称A为n阶矩阵或称为n阶方阵行矩阵与列矩阵只有一行或只一列的矩阵称为行矩阵或列矩阵行矩阵与列矩阵也可用小写黑体字母abxy表示定义22(矩阵相等)如果两个矩阵AB有相同的行数与相同的列数并且对应位置上的元素均相等则称矩阵A与矩阵B相等记为AB即如果A(aij)mnB(bij)mn且aijbij(i12mj12n)则AB§2.2矩阵的运算三、矩阵的转置四、方阵的幂一、矩阵的加法与数与矩阵的乘法

4、二、矩阵的乘法一、矩阵的加法与数与矩阵的乘法定义23(矩阵的加法)两个mn矩阵A(aij)mnB(bij)mn对应位置元素相加得到的mn矩阵称为矩阵A与矩阵B的和记为AB即AB(aij)mn(bij)mn(aijbij)mn例1设有矩阵A与矩阵B3205017422331203162540783+15+37+22+20+14+53+72+00+01+62+43+844081799621011则定义23(矩阵的加法)两个mn矩阵A(aij)mnB(bij)mn对应位置元素相加得到的m

5、n矩阵称为矩阵A与矩阵B的和记为AB即AB(aij)mn(bij)mn(aijbij)mn定义44(数与矩阵的积)以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵称为数k与矩阵A的积记为kA即如果A(aij)mn那么kAk(aij)mn(kaij)mn定义23(矩阵的加法)两个mn矩阵A(aij)mnB(bij)mn对应位置元素相加得到的mn矩阵称为矩阵A与矩阵B的和记为AB即AB(aij)mn(bij)mn(aijbij)mn例2设有矩阵A则把矩阵A

6、(aij)中各元素变号得到的矩阵称为A的负矩阵记为A即A(aij)负矩阵与矩阵的减法由矩阵加法及负矩阵可以定义矩阵的减法ABA(B)即如果A(aij)mnB(bij)mn则ABA(B)(aij)mn(bij)mn(aijbij)mn矩阵加法与矩阵数乘的性质设ABCO都是mn矩阵是数则(1)ABBA(2)(AB)CA(BC)(3)AOA(4)A(A)O(5)(AB)AB(6)()AAA(7)(

7、)A(A)(8)1AA解例4已知且A2XB求X解例5设A(aij)为三阶矩阵若已知

8、A

9、2求

10、

11、A

12、A

13、解(2)3

14、A

15、(2)3(2)16二、矩阵的乘法定义25(矩阵的积)设矩阵A(aij)ml的列数与矩阵B(bij)ln的行数相同则由元素(i12mj12n)构成的m行n列矩阵称为矩阵A与矩阵B的积记为CAB或AB矩阵C中第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素乘积的和矩阵C的行数等于矩阵A的行数矩

16、阵C的列数等于矩阵B的列数解8357076399348解()23BA没有意义因为B的列数不等于A的行数解()23BA没有意义因为B的列数不等于