二次函数最值.doc

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1、二次函数最值内容讲解：二次函数的最值问题，包括三方面的内容：自变量的取值范围为任意实数时二次函数最值的求法．二次函数y=ax2+bx+c=a（x+）2+．当a>0时，抛物线开口向上，此时当x<-时，y随x增大而减小；当x>-时，y随x增大而增大；当x=-时，y取最小值．当a<0时，抛物线开口向下，此时当x<-时，y随x增大而增大；当x>-时，y随x增大而减小；当x=-时，y取最大值．2．自变量的取值范围是某一确定范围时二次函数最值的求法，要结合图象和增减性来综合考虑．（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范

2、围内两端点处取得．3．实际问题中所建立的数学模型是二次函数时，所涉及的二次函数最值的求法，先建模后求解．例题剖析例1（2003年武汉选拔赛试题）若x-1=，则x2+y2+z2可取得的最小值为（）．（A）3（B）（C）（D）6分析：设x-1==t，则x2+y2+z2可用只含t的代数式表示，通过配方求最小值．解：x=t+1，y=2t-1，z=3t+2，原式=14t2+10t+6=14（t+）2+，所以最小值是．评注：本题体现了如何消元使多元函数转变为一元函数这一思想，我们要用心体会．此外，设比值为k法是解决等比问题最常用的方法．例2（1995年全国初中数学联赛试题）设x为正实数，则

3、函数y=x2-x+的最小值是________．分析：先将原函数配方，再求最值。解：y=x2-x+=（x-1）2+（x+）-1=（x-1）2+（）2+1要求y的最小值，最好有（x-1）2=0且（）2=0，这时得到x=1．于是，当x=1时，y=x2-x+取最小值1．评注：函数y=x2-x+含有，不能直接用求二次函数的最值方法，求最值的最原始、最有效的方法仍然是配方法．精选范本,供参考！例3（2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题）函数y=2x2+4│x│-1的最小值是________．分析：对x分类进行讨论，去绝对值符号，转化为在约束条件下，求二次函数最值问题．解：y=2（

4、│x│+1）2-3=其图象如图，由图象可知，当x=0时，y最小为-1．答案：-1．评注：对于含有绝对值的函数，首先要化去绝对值，变成基本函数，再求极值．例4设0≤x≤3，求函数y=f（x）=│x2-2x-1│的最值．分析：首先画出y=f（x）的图象，然后将y=f（x）图象位于x轴上方的部分保持不变，而将位于x轴下方的图象作关于x轴的对称图形，即得y=│f（x）│的图象．然后用数形结合方法求函数y=│f（x）│的最值．【解】：如图，先作抛物线y=x2-2x-1，然后将x轴下方的图象翻转上来，即得y=│x2-2x-1│的图象，对称轴是直线x=，方程x2-2x-1=0的两根是±2．由

5、此可知，0与3位于图象与x轴两交点之间，且位于对称轴两侧，故最大值为：f（）=

6、（）-2·-1

7、=4，而最小值为f（0），f（3）中较小者∵f（0）=1，f（）=6-8>1，∴最小值为1．评注：画绝对值函数图象，首先脱去绝对值符号（方法同绝对值的化简），转化为基本函数，再在自变量取值范围内画出符合条件的图象．例5设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实根，当m为何值，x12+x22有最小值，并求这个最小值．分析：由韦达定理知x12+x22是关于m的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m的取值范围，从判别式入手．解：由△=（-4m）2-4

8、×2×（2m2+3m-2）≥0得m≤，x1+x2=2m，x1x2=，x12+x22=2（m-）2+=2（-m）2+，∵m≤，∴-m≥-精选范本,供参考！>0，从而当m=时，x+x取得最小值，且最小值为2×（-）2+=．评注：定义在某一范围的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形：（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．例6求函数y=（4-x）+2的最值．分析：此函数是较复杂的复合函数，可通过引入参数来求取函数最值．解：设u=2-x，则u>0，且y=4+u．于是（u+x）2=4（x2+9）

9、，即3x2-2u·x+36-u2=0．∵x∈R，∴上式的判别式△=（2u）2-4×3×（36-u2）≥0，即u2≥27，故u≥3．∴y=4-x+2的最小值为4+3（当x=时取到）．评注：通过换元，把原函数转变成关于x的一元二次方程，考虑到一元二次方程有解，由△≥0即可求得u的范围，从而求得y的最值．这是一种常用的方法，应掌握．例7（2002年太原市竞赛题）已知二次函数y=x2-x-2及实数a>-2，求（1）函数在-2